[Date Prev][Date Next][Thread Prev][Thread Next][Date Index][Thread Index]
Re: [obm-l] Problema de matrizes
Obrigado pelas explicações ao Morgado e ao Paulo. Foram bem
esclarecedoras. Espero não cometer novamente um erro destes
:-)
Paulo Santa Rita escreveu:
> Ola Prof Morgado, Daibert e
> demais colegas desta lista ... OBM-L,
>
> Vou tentaracrescentar mais detalhes a resposta do Prof Morgado.
> Conforme o Prof assinalou, o erro na sua demonstracao esta na passagem :
>
>>> fazendo para este novo sistema x1, x2, x3, ..., x(n - 1) = 0
>>>
>>> 0 + 0 + 0 + ... + 0 + kx(n) = 0
>>> 0 + 0 + 0 + ... + 0 + lx(n) = 0
>>> .............................
>>> 0 + 0 + 0 + ... + 0 + x(n) = 0
>>>
>>> (Eu posso realmente fazer isso?? Se não posso, pq não posso?)NAO PODE!
>>
>
> Ao acrescentar a nova linha e a nova coluna, PRESSUPONDO QUE O
> DETERMINANTE DA MATRIZ "A+I" DE ORDEM "N-1" E DIFERENTE DE ZERO, tudo
> que voce pode concluir e que A CARACTERISTICA DA NOVA MATRIZ "A+I" e
> pelo menos N-1, isto e, que se o determinante da nova matriz "A+I" for
> igual a zero entao, necessariamente, com base no teorema de
> Rouche-Capelli, ao atribuir um valor arbitrario ( digamos : ALFA ) a
> nova varialvel Xn e transformando a coluna N nos termos independentes,
> teremos um sistema de N-1 incognitas e N equacoes, possivel e
> determinado.
>
> E interessante perceber que se A e anti-simetrica de ordem maior que
> 2, entao, em A+I, se suprirmos a primeira linha e a primeira coluna, a
> matriz resultante e ainda da forma A+I, com A anti-simetrica;
> igualmente, se suprirmos a ultima linha e a ultima coluna, a matriz
> resultante e da forma A+I, com A anti-simetrica. O que estou tentanto
> lhe dizer e que o raciocinio do paragrafo anterior podera ser aplicado
> duas vezes ...
>
> Existe um teorema ( de Jacobi ou Cauchy, nao me lembro ao certo ) que
> os livros de ensino medio abordam, que e o seguinte :
>
> TEOREMA : Se acrescentarmos a uma fila de uma matriz quadrada uma
> combinacao linear das demais filas paralelas, o determinante desta
> matriz nao se altera"
>
> COROLARIO : Se uma fila de uma matriz quadrada e uma combinacao linear
> das demais filas paralelas entao o determinante desta matriz e igual a
> zero
>
> OBS : Estou usando fila como sinonimo de linha ou de coluna.
>
> Um Abraco
> Paulo Santa Rita
> 2,1110,280703
>
>> From: "A. C. Morgado" <morgado@centroin.com.br>
>> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>> Subject: Re: [obm-l] Problema de matrizes
>> Date: Mon, 28 Jul 2003 08:46:15 -0300
>>
>> ASSINALEI O ERRO.
>> Veja: o sistema x+y=1, x-y=1 tem soluçao (1,0). O sistema x+y +z
>> =1, x-y+z=1, x+2y +3z=3 tem soluçao (0,0,1). O seu processo levaria a
>> conclusao que este sistema eh impossivel.
>>
>> Alexandre Daibert wrote:
>>
>>> Olha, eu fiz uma demonstração mas acho q está errada, gostaria que
>>> alguém achasse o erro na minha demonstração para mim.
>>>
>>> A resolução usa a idéia da resolução da questão do IME q eu tinha
>>> enviado aos senhores por meio de sistemas lineares homogêneos.
>>> (dúvidas olhe no fim deste e-mail q também está postado)
>>> resumindo a idéia principal da questão anterior:
>>> no sistema linear homogêneo (onde X eh matriz-coluna das incógnitas)
>>> (A + I)X=(0) , X = (0) implica q A é inversível (está provado na
>>> questão anterior)
>>> provemos por indução finita q X=(0) para todo A anti-simétrico:
>>> X=(0) denota a matriz coluna de ordem qualquer com todos os
>>> elementos iguais a zero
>>>
>>> provando para matriz 1x1:
>>> A (1x1) = matriz unidade [0]
>>> X = matriz unidade [x]
>>> AX = -X
>>> [0]*[x] = -[x]
>>> [0] = -[x]
>>> x = 0 implica X = (0), logo a propriedade eh verdadeira para n=1
>>>
>>> provamos q se é valida para matriz (n-1)x(n-1) é válida também para
>>> matriz nxn
>>> o sistema linear homogêneo determinado para ordem (n-1) fica da
>>> seguinte forma (valendo-se da igualdade (A + I)X = (0)) :
>>> x1 + ax2 + bx3 + ... = 0
>>> -ax1 + x2 + dx3 + ... = 0
>>> -bx1 + -dx2 + x3 + ... = 0
>>> ......................................
>>> -gx1 + -hx2 + -ix3 + ... = 0
>>>
>>> por hipótese x1, x2, x3, ..., x(n - 1) = 0 , pois X=(0)
>>>
>>> para A nxn temos:
>>>
>>> x1 + ax2 + bx3 + ... + kx(n) = 0
>>> -ax1 + x2 + dx3 + ... + lx(n) = 0
>>> -bx1 + -dx2 + x3 + ... + mx(n) = 0
>>> ...............................................
>>> -gx1 + -hx2 + -ix3 + ... + zx(n) = 0
>>> -kx1 + -lx2 + -mx3 + ... + x(n) = 0
>>>
>>> fazendo para este novo sistema x1, x2, x3, ..., x(n - 1) = 0
>>>
>>> 0 + 0 + 0 + ... + 0 + kx(n) = 0
>>> 0 + 0 + 0 + ... + 0 + lx(n) = 0
>>> .............................
>>> 0 + 0 + 0 + ... + 0 + x(n) = 0
>>>
>>> (Eu posso realmente fazer isso?? Se não posso, pq não posso?)NAO PODE!
>>>
>>> da última equação, constatamos q x(n)=0
>>> x(n)=0 => X=(0) => det (A + I) diferente de zero => (A + I) é
>>> inversível para todo n
>>>
>>> segundo o que acabamos de constatar, a propriedade seria válida não
>>> soh para matrizes antisimétricas, mas para toda matriz com a
>>> diagonal principal com todos os elementos iguais a zero, o que é
>>> estranho, pois não é válida para a seguinte matriz A:
>>> || 0 1 ||
>>> || 1 0 ||
>>> cujo det (A + I) = 0
>>>
>>> Aguardo ansiosamente respostas
>>>
>>> Alexandre Daibert
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> Alexandre Daibert escreveu:
>>>
>>>> Hehehe, vou ser sincero, naum entendi tudo, mas deu pra entender
>>>> bastante coisa sim, vou dar mais uma relida pra ver se entendo
>>>> tudo, hehehehe. Valeu aí!
>>>>
>>>> Quero só deixar apara o pessoal da lista a resolução q eu tinha
>>>> comentado por sistemas lineares homogêneos, q eu lembrei aki:
>>>>
>>>> sendo BX=(0), um sistema linear homogêneo (B é matriz quadrada nxn,
>>>> X matriz coluna n)
>>>> temos q o sistema será possível determinado se e somente se X = (0)
>>>> (matriz coluna todos os elementos iguais a zero) o que implica q
>>>> det B é diferente de zero (pois o sistema é determinado)
>>>> resumindo:
>>>> X = (0) => det B dif. de 0
>>>> fazendo B = (A + I) temos
>>>> (A + I)X = (0)
>>>> AX + X = (0)
>>>>
>>>> AX = -X ....(1)
>>>>
>>>> A^2*X = -AX
>>>> de (1):
>>>> A^2*X = X
>>>> A^3X = AX
>>>> kAX = -X
>>>> -kX = -X
>>>> (k-1)X=(0)
>>>> como k diferente de 1
>>>> X = (0)
>>>> (logo a matriz A + I é inversível)
>>>>
>>>> alguém teria alguma idéia de pegar algo desta solução aki para o
>>>> nosso problema?? tentei fazer algo, mas não cheguei em nada...
>>>>
>>>> Valeus aÊ!!!
>>>>
>>>
>
> _________________________________________________________________
> MSN Messenger: converse com os seus amigos online.
> http://messenger.msn.com.br
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
>
>
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================