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Re: [obm-l] Problema de matrizes
Ola Prof Morgado, Daibert e
demais colegas desta lista ... OBM-L,
Vou tentaracrescentar mais detalhes a resposta do Prof Morgado. Conforme o
Prof assinalou, o erro na sua demonstracao esta na passagem :
>>fazendo para este novo sistema x1, x2, x3, ..., x(n - 1) = 0
>>
>>0 + 0 + 0 + ... + 0 + kx(n) = 0
>>0 + 0 + 0 + ... + 0 + lx(n) = 0
>>.............................
>>0 + 0 + 0 + ... + 0 + x(n) = 0
>>
>>(Eu posso realmente fazer isso?? Se não posso, pq não posso?)NAO PODE!
Ao acrescentar a nova linha e a nova coluna, PRESSUPONDO QUE O DETERMINANTE
DA MATRIZ "A+I" DE ORDEM "N-1" E DIFERENTE DE ZERO, tudo que voce pode
concluir e que A CARACTERISTICA DA NOVA MATRIZ "A+I" e pelo menos N-1, isto
e, que se o determinante da nova matriz "A+I" for igual a zero entao,
necessariamente, com base no teorema de Rouche-Capelli, ao atribuir um valor
arbitrario ( digamos : ALFA ) a nova varialvel Xn e transformando a coluna N
nos termos independentes, teremos um sistema de N-1 incognitas e N equacoes,
possivel e determinado.
E interessante perceber que se A e anti-simetrica de ordem maior que 2,
entao, em A+I, se suprirmos a primeira linha e a primeira coluna, a matriz
resultante e ainda da forma A+I, com A anti-simetrica; igualmente, se
suprirmos a ultima linha e a ultima coluna, a matriz resultante e da forma
A+I, com A anti-simetrica. O que estou tentanto lhe dizer e que o raciocinio
do paragrafo anterior podera ser aplicado duas vezes ...
Existe um teorema ( de Jacobi ou Cauchy, nao me lembro ao certo ) que os
livros de ensino medio abordam, que e o seguinte :
TEOREMA : Se acrescentarmos a uma fila de uma matriz quadrada uma combinacao
linear das demais filas paralelas, o determinante desta matriz nao se
altera"
COROLARIO : Se uma fila de uma matriz quadrada e uma combinacao linear das
demais filas paralelas entao o determinante desta matriz e igual a zero
OBS : Estou usando fila como sinonimo de linha ou de coluna.
Um Abraco
Paulo Santa Rita
2,1110,280703
>From: "A. C. Morgado" <morgado@centroin.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] Problema de matrizes
>Date: Mon, 28 Jul 2003 08:46:15 -0300
>
>ASSINALEI O ERRO.
>Veja: o sistema x+y=1, x-y=1 tem soluçao (1,0). O sistema x+y +z =1,
>x-y+z=1, x+2y +3z=3 tem soluçao (0,0,1). O seu processo levaria a conclusao
>que este sistema eh impossivel.
>
>Alexandre Daibert wrote:
>
>>Olha, eu fiz uma demonstração mas acho q está errada, gostaria que alguém
>>achasse o erro na minha demonstração para mim.
>>
>>A resolução usa a idéia da resolução da questão do IME q eu tinha enviado
>>aos senhores por meio de sistemas lineares homogêneos. (dúvidas olhe no
>>fim deste e-mail q também está postado)
>>resumindo a idéia principal da questão anterior:
>>no sistema linear homogêneo (onde X eh matriz-coluna das incógnitas)
>>(A + I)X=(0) , X = (0) implica q A é inversível (está provado na
>>questão anterior)
>>provemos por indução finita q X=(0) para todo A anti-simétrico:
>>X=(0) denota a matriz coluna de ordem qualquer com todos os elementos
>>iguais a zero
>>
>>provando para matriz 1x1:
>>A (1x1) = matriz unidade [0]
>>X = matriz unidade [x]
>>AX = -X
>>[0]*[x] = -[x]
>>[0] = -[x]
>>x = 0 implica X = (0), logo a propriedade eh verdadeira para n=1
>>
>>provamos q se é valida para matriz (n-1)x(n-1) é válida também para matriz
>>nxn
>>o sistema linear homogêneo determinado para ordem (n-1) fica da seguinte
>>forma (valendo-se da igualdade (A + I)X = (0)) :
>>x1 + ax2 + bx3 + ... = 0
>>-ax1 + x2 + dx3 + ... = 0
>>-bx1 + -dx2 + x3 + ... = 0
>>......................................
>>-gx1 + -hx2 + -ix3 + ... = 0
>>
>>por hipótese x1, x2, x3, ..., x(n - 1) = 0 , pois X=(0)
>>
>>para A nxn temos:
>>
>>x1 + ax2 + bx3 + ... + kx(n) = 0
>>-ax1 + x2 + dx3 + ... + lx(n) = 0
>>-bx1 + -dx2 + x3 + ... + mx(n) = 0
>>...............................................
>>-gx1 + -hx2 + -ix3 + ... + zx(n) = 0
>>-kx1 + -lx2 + -mx3 + ... + x(n) = 0
>>
>>fazendo para este novo sistema x1, x2, x3, ..., x(n - 1) = 0
>>
>>0 + 0 + 0 + ... + 0 + kx(n) = 0
>>0 + 0 + 0 + ... + 0 + lx(n) = 0
>>.............................
>>0 + 0 + 0 + ... + 0 + x(n) = 0
>>
>>(Eu posso realmente fazer isso?? Se não posso, pq não posso?)NAO PODE!
>>
>>da última equação, constatamos q x(n)=0
>>x(n)=0 => X=(0) => det (A + I) diferente de zero => (A + I) é
>>inversível para todo n
>>
>>segundo o que acabamos de constatar, a propriedade seria válida não soh
>>para matrizes antisimétricas, mas para toda matriz com a diagonal
>>principal com todos os elementos iguais a zero, o que é estranho, pois não
>>é válida para a seguinte matriz A:
>>|| 0 1 ||
>>|| 1 0 ||
>>cujo det (A + I) = 0
>>
>> Aguardo ansiosamente respostas
>>
>>Alexandre Daibert
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>Alexandre Daibert escreveu:
>>
>>>Hehehe, vou ser sincero, naum entendi tudo, mas deu pra entender bastante
>>>coisa sim, vou dar mais uma relida pra ver se entendo tudo, hehehehe.
>>>Valeu aí!
>>>
>>>Quero só deixar apara o pessoal da lista a resolução q eu tinha comentado
>>>por sistemas lineares homogêneos, q eu lembrei aki:
>>>
>>>sendo BX=(0), um sistema linear homogêneo (B é matriz quadrada nxn, X
>>>matriz coluna n)
>>>temos q o sistema será possível determinado se e somente se X = (0)
>>>(matriz coluna todos os elementos iguais a zero) o que implica q det B é
>>>diferente de zero (pois o sistema é determinado)
>>>resumindo:
>>>X = (0) => det B dif. de 0
>>>fazendo B = (A + I) temos
>>>(A + I)X = (0)
>>>AX + X = (0)
>>>
>>>AX = -X ....(1)
>>>
>>>A^2*X = -AX
>>>de (1):
>>>A^2*X = X
>>>A^3X = AX
>>>kAX = -X
>>>-kX = -X
>>>(k-1)X=(0)
>>>como k diferente de 1
>>>X = (0)
>>>(logo a matriz A + I é inversível)
>>>
>>>alguém teria alguma idéia de pegar algo desta solução aki para o nosso
>>>problema?? tentei fazer algo, mas não cheguei em nada...
>>>
>>>Valeus aÊ!!!
>>>
>>
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