[obm-l] IMC - Problema 1

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, pessoal:

Segue abaixo minha solucao pro primeiro...

Um abraco,
Claudio.

on 27.07.03 13:56, okakamo kokobongo at okaka_koko@yahoo.com.br wrote:

> Oi pessoal pessoal da lista,

>[...]
> 
> Ah, vou mandar as tres primeiras questoes da IMC.
> 
> 1)a) Seja a1, a2, ... , an, ... uma sequencia de
> numeros reais tais que a1=1 e
> a(n+1)>3/2*an para todo n. Prove que a sequencia
> 
> a(n)
> ------------
> (3/2)^(n-1)
> 
> tem um limite finito ou tende a infinito
> 
a(1) = 1
a(2) > (3/2)*a(1) 
a(3) > (3/2)*a(2)
...
a(n) > (3/2)*a(n-1) ==>
(telescopando, pois os a(i) sao claramente positivos)
a(n) > (3/2)^(n-1) ==>
a(n)/(3/2)^(n-1) > 1, para todo n > 1 ==>
a(n)/(3/2)^(n-1) eh limitada inferiormente (1)

[a(n)/(3/2)^(n-1)]/[a(n-1)/(3/2)^(n-2)] = [a(n)/a(n-1)]*(2/3) > (3/2)*(2/3)
= 1 ==>
a(n)/(3/2)^(n-1) > a(n-1)/(3/2)^(n-2), para todo n > 2 (2)

(1) e (2) ==> a(n)/(3/2)^(n-1) eh monotona crescente e limitada
inferiormente ==>
a(n)/(3/2)^(n-1) tem limite finito ou tende a infinito


> b) Prove que para todo alfa>1 existe uma sequencia
> a1,a2, ... ,an, ..., com as
> mesmas propriedades , tal que
> > 
> lim      a(n)
> n->oo  ----------- = alfa
>        (3/2)^(n-1)
> 
> 
Seja a(1) = 1 e a(n) = (3/2)*alfa^(1/2^(n-1))*a(n-1), para n > 1.

Entao:
a(n)/a(n-1) = (3/2)*alfa^(1/2^(n-1)) > 3/2, pois alfa > 1.

Alem disso:
a(1) = 1
a(2) = (3/2)*alfa^(1/2)*a(1)
a(3) = (3/2)*alfa^(1/4)*a(2)
....
a(n) = (3/2)*alfa^(1/2^(n-1))*a(n-1)

Multiplicando e simplificando:
a(n) = (3/2)^(n-1)*alfa^(1 - 1/2^(n-1)) ==>

a(n)/(3/2)^(n-1) = alfa^(1 - 1/2^(n-1)) ==>

lim a(n)/(3/2)^(n-1) = lim alfa^(1 - 1/2^(n-1)) = alfa.



=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================