Re: [obm-l] Chines dos Restos para Polinomios

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

Oi Claudio e demais membros da lista,

Na página do prof. Kahan, de Berkeley, tem um artigo
traçando um paralelo entre o teorema chinês dos restos
e o polinômio interpolador de Lagrange (em pdf):

http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/MathH90/CRTasLIF.pdf

[]'s
Shine


--- Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
wrote:
> Oi, Pessoal:
> 
> Por favor desconsiderem a ultima frase da mensagem
> abaixo. Eu troquei as
> bolas. Realmente, um polinomio p(x) sobre Q[x] ou
> R[x] possui um inverso se
> e somente se p(x) = a, onde a eh um numero (racional
> ou real) nao nulo, ou
> seja, grau(p(x)) = 0.
> 
> No entanto, dado um polinomio q(x), primo com p(x),
> existem polinomios r(x)
> e s(x) tais que r(x)*p(x) + s(x)*q(x) = 1 (Teorema
> de Bezout para
> polinomios, que pode ser demonstrado de forma
> totalmente analoga ao caso
> inteiro).
> 
> Mas isso quer dizer que r(x) eh um inverso de p(x)
> (mod q(x)) e s(x) um
> inverso de q(x) (mod p(x)).
> 
> Ou seja, eu confundi os conceitos de inverso
> absoluto com inverso (mod m).
> Nada como uma boa noite de sono pra clarear as
> ideias...
> 
> -----
> 
> Suponhamos que estejamos trabalhando sobre Q[x] ou
> R[x] ou, em geral, sobre
> F[x] onde F eh um corpo qualquer.
> 
> m(x) e n(x) sao primos entre si ==>
> existem m1(x) e n1(x) tais que:
> m(x)*m1(x) == 1 (mod n(x))   e   n(x)*n1(x) == 1
> (mod m(x))
> 
> Tomemos f(x) = a(x)*n(x)*n1(x) + b(x)*m(x)*m1(x)
> 
> Nesse caso:
> f(x) == a(x) (mod m(x))   e   f(x) == b(x) (mod
> n(x))
> 
> Suponhamos que exista g(x) tal que:
> g(x) == a(x) (mod m(x))   e   g(x) == b(x) (mod
> n(x))
> 
> Entao teremos:
> f(x) == g(x) (mod m(x))   e   f(x) == g(x) (mod
> n(x))
> 
> E como m(x) e n(x) sao primos entre si:
> f(x) == g(x) (mod m(x)*n(x))
> 
> Ou seja, f(x) eh unico (mod m(x)*n(x)).
> 
> 
> Um abraco,
> Claudio.
> 
> 
> *****
> 
> 
> on 24.07.03 00:30, Claudio Buffara at
> claudio.buffara@terra.com.br wrote:
> 
> > Caros colegas da lista:
> > 
> > Eh bem sabido que se m e n sao inteiros primos
> entre si, entao o sistema de
> > congruencias:
> > x == a (mod m)
> > x == b (mod n)
> > tem uma solucao unica (mod m*n) para quaisquer
> inteiros a e b.
> > Esse eh justamente o Teorema Chines dos Restos.
> > 
> > Um problema que eu resolvi hoje na lista me fez
> pensar numa generalizacao
> > para polinomios:
> > Sejam m(x) e n(x) dois polinomios primos entre si.
> > Dados polinomios quaisquer a(x) e b(x), serah que
> existe um polinomio f(x)
> > que deixe resto a(x) quando dividido por m(x) e
> deixe resto b(x) quando
> > dividido por b(x)?
> > Caso exista, sob que condicoes f(x) serah unico
> (isto eh, unico a menos da
> > adicao de multiplos de m(x)*n(x))?
> > Os resultados acima serao validos tanto em Z[x]
> quanto em Q[x] ou R[x]?
> > E quanto a Z/(p)[x]?
> > 
> > A demonstracao padrao (construtiva) do TCR nao se
> estende a aneis de
> > polinomios pois envolve inversos mod m e mod n, os
> quais nao existem se m e
> > n forem polinomios nao constantes.
> > 
> > Um abraco,
> > Claudio.
> > 
> 
>
=========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
=========================================================================


__________________________________
Do you Yahoo!?
Yahoo! SiteBuilder - Free, easy-to-use web site design software
http://sitebuilder.yahoo.com
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================