Re: [obm-l] Chines dos Restos para Polinomios

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Pessoal:

Por favor desconsiderem a ultima frase da mensagem abaixo. Eu troquei as
bolas. Realmente, um polinomio p(x) sobre Q[x] ou R[x] possui um inverso se
e somente se p(x) = a, onde a eh um numero (racional ou real) nao nulo, ou
seja, grau(p(x)) = 0.

No entanto, dado um polinomio q(x), primo com p(x), existem polinomios r(x)
e s(x) tais que r(x)*p(x) + s(x)*q(x) = 1 (Teorema de Bezout para
polinomios, que pode ser demonstrado de forma totalmente analoga ao caso
inteiro).

Mas isso quer dizer que r(x) eh um inverso de p(x) (mod q(x)) e s(x) um
inverso de q(x) (mod p(x)).

Ou seja, eu confundi os conceitos de inverso absoluto com inverso (mod m).
Nada como uma boa noite de sono pra clarear as ideias...

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Suponhamos que estejamos trabalhando sobre Q[x] ou R[x] ou, em geral, sobre
F[x] onde F eh um corpo qualquer.

m(x) e n(x) sao primos entre si ==>
existem m1(x) e n1(x) tais que:
m(x)*m1(x) == 1 (mod n(x))   e   n(x)*n1(x) == 1 (mod m(x))

Tomemos f(x) = a(x)*n(x)*n1(x) + b(x)*m(x)*m1(x)

Nesse caso:
f(x) == a(x) (mod m(x))   e   f(x) == b(x) (mod n(x))

Suponhamos que exista g(x) tal que:
g(x) == a(x) (mod m(x))   e   g(x) == b(x) (mod n(x))

Entao teremos:
f(x) == g(x) (mod m(x))   e   f(x) == g(x) (mod n(x))

E como m(x) e n(x) sao primos entre si:
f(x) == g(x) (mod m(x)*n(x))

Ou seja, f(x) eh unico (mod m(x)*n(x)).


Um abraco,
Claudio.


*****


on 24.07.03 00:30, Claudio Buffara at claudio.buffara@terra.com.br wrote:

> Caros colegas da lista:
> 
> Eh bem sabido que se m e n sao inteiros primos entre si, entao o sistema de
> congruencias:
> x == a (mod m)
> x == b (mod n)
> tem uma solucao unica (mod m*n) para quaisquer inteiros a e b.
> Esse eh justamente o Teorema Chines dos Restos.
> 
> Um problema que eu resolvi hoje na lista me fez pensar numa generalizacao
> para polinomios:
> Sejam m(x) e n(x) dois polinomios primos entre si.
> Dados polinomios quaisquer a(x) e b(x), serah que existe um polinomio f(x)
> que deixe resto a(x) quando dividido por m(x) e deixe resto b(x) quando
> dividido por b(x)?
> Caso exista, sob que condicoes f(x) serah unico (isto eh, unico a menos da
> adicao de multiplos de m(x)*n(x))?
> Os resultados acima serao validos tanto em Z[x] quanto em Q[x] ou R[x]?
> E quanto a Z/(p)[x]?
> 
> A demonstracao padrao (construtiva) do TCR nao se estende a aneis de
> polinomios pois envolve inversos mod m e mod n, os quais nao existem se m e
> n forem polinomios nao constantes.
> 
> Um abraco,
> Claudio.
> 

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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