[obm-l] Chines dos Restos para Polinomios

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Caros colegas da lista:

Eh bem sabido que se m e n sao inteiros primos entre si, entao o sistema de
congruencias:
x == a (mod m)
x == b (mod n)
tem uma solucao unica (mod m*n) para quaisquer inteiros a e b.
Esse eh justamente o Teorema Chines dos Restos.

Um problema que eu resolvi hoje na lista me fez pensar numa generalizacao
para polinomios:
Sejam m(x) e n(x) dois polinomios primos entre si.
Dados polinomios quaisquer a(x) e b(x), serah que existe um polinomio f(x)
que deixe resto a(x) quando dividido por m(x) e deixe resto b(x) quando
dividido por b(x)?
Caso exista, sob que condicoes f(x) serah unico (isto eh, unico a menos da
adicao de multiplos de m(x)*n(x))?
Os resultados acima serao validos tanto em Z[x] quanto em Q[x] ou R[x]?
E quanto a Z/(p)[x]?

A demonstracao padrao (construtiva) do TCR nao se estende a aneis de
polinomios pois envolve inversos mod m e mod n, os quais nao existem se m e
n forem polinomios nao constantes.

Um abraco,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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