Re: [obm-l] Chines dos Restos para Polinomios

[Augusto Cesar de Oliveira Morgado <morgado@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Shine, voce leu o artigo?
Eu e o Claudio lemos e achamos uma !#&¨&@$%W*!
Morgado

Em Thu, 24 Jul 2003 11:23:48 -0700 (PDT), Carlos Yuzo Shine <cyshine@yahoo.com> disse:

> Oi Claudio e demais membros da lista,
> 
> Na página do prof. Kahan, de Berkeley, tem um artigo
> traçando um paralelo entre o teorema chinês dos restos
> e o polinômio interpolador de Lagrange (em pdf):
> 
> http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/MathH90/CRTasLIF.pdf
> 
> []'s
> Shine
> 
> 
> --- Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
> wrote:
> > Oi, Pessoal:
> > 
> > Por favor desconsiderem a ultima frase da mensagem
> > abaixo. Eu troquei as
> > bolas. Realmente, um polinomio p(x) sobre Q[x] ou
> > R[x] possui um inverso se
> > e somente se p(x) = a, onde a eh um numero (racional
> > ou real) nao nulo, ou
> > seja, grau(p(x)) = 0.
> > 
> > No entanto, dado um polinomio q(x), primo com p(x),
> > existem polinomios r(x)
> > e s(x) tais que r(x)*p(x) + s(x)*q(x) = 1 (Teorema
> > de Bezout para
> > polinomios, que pode ser demonstrado de forma
> > totalmente analoga ao caso
> > inteiro).
> > 
> > Mas isso quer dizer que r(x) eh um inverso de p(x)
> > (mod q(x)) e s(x) um
> > inverso de q(x) (mod p(x)).
> > 
> > Ou seja, eu confundi os conceitos de inverso
> > absoluto com inverso (mod m).
> > Nada como uma boa noite de sono pra clarear as
> > ideias...
> > 
> > -----
> > 
> > Suponhamos que estejamos trabalhando sobre Q[x] ou
> > R[x] ou, em geral, sobre
> > F[x] onde F eh um corpo qualquer.
> > 
> > m(x) e n(x) sao primos entre si ==>
> > existem m1(x) e n1(x) tais que:
> > m(x)*m1(x) == 1 (mod n(x))   e   n(x)*n1(x) == 1
> > (mod m(x))
> > 
> > Tomemos f(x) = a(x)*n(x)*n1(x) + b(x)*m(x)*m1(x)
> > 
> > Nesse caso:
> > f(x) == a(x) (mod m(x))   e   f(x) == b(x) (mod
> > n(x))
> > 
> > Suponhamos que exista g(x) tal que:
> > g(x) == a(x) (mod m(x))   e   g(x) == b(x) (mod
> > n(x))
> > 
> > Entao teremos:
> > f(x) == g(x) (mod m(x))   e   f(x) == g(x) (mod
> > n(x))
> > 
> > E como m(x) e n(x) sao primos entre si:
> > f(x) == g(x) (mod m(x)*n(x))
> > 
> > Ou seja, f(x) eh unico (mod m(x)*n(x)).
> > 
> > 
> > Um abraco,
> > Claudio.
> > 
> > 
> > *****
> > 
> > 
> > on 24.07.03 00:30, Claudio Buffara at
> > claudio.buffara@terra.com.br wrote:
> > 
> > > Caros colegas da lista:
> > > 
> > > Eh bem sabido que se m e n sao inteiros primos
> > entre si, entao o sistema de
> > > congruencias:
> > > x == a (mod m)
> > > x == b (mod n)
> > > tem uma solucao unica (mod m*n) para quaisquer
> > inteiros a e b.
> > > Esse eh justamente o Teorema Chines dos Restos.
> > > 
> > > Um problema que eu resolvi hoje na lista me fez
> > pensar numa generalizacao
> > > para polinomios:
> > > Sejam m(x) e n(x) dois polinomios primos entre si.
> > > Dados polinomios quaisquer a(x) e b(x), serah que
> > existe um polinomio f(x)
> > > que deixe resto a(x) quando dividido por m(x) e
> > deixe resto b(x) quando
> > > dividido por b(x)?
> > > Caso exista, sob que condicoes f(x) serah unico
> > (isto eh, unico a menos da
> > > adicao de multiplos de m(x)*n(x))?
> > > Os resultados acima serao validos tanto em Z[x]
> > quanto em Q[x] ou R[x]?
> > > E quanto a Z/(p)[x]?
> > > 
> > > A demonstracao padrao (construtiva) do TCR nao se
> > estende a aneis de
> > > polinomios pois envolve inversos mod m e mod n, os
> > quais nao existem se m e
> > > n forem polinomios nao constantes.
> > > 
> > > Um abraco,
> > > Claudio.
> > > 
> > 
> >
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> > usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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