[obm-l] Desigualdades em inteiros

[Eduardo Botelho <matematika@xxxxxxxxxxxx>]

Há algum tempo circulou pela lista uma questão deste tipo:

se p e q são inteiros positivos tais que  7/10 < p/q < 11/15, então o 
menor valor que q pode ter é:
a)6     b)7     c)25     d)30      e)60

A resposta é b)7

Se p,q são positivos, essas desigualdades são equivalentes a 15p < 11q 
  e  7q < 10p  <=>  (15/11)p < q < (10/7)p .

Usei o seguinte: se a diferença entre as pontas for maior ou igual a 1 
(10p/7 - 15p/11 = 5p/77 >= 1), então existe um inteiro q nesse 
intervalo. Daí conseguimos achar uma cota superior para p, pois p <= 
|77/5| + 1 = 16  (| | é a função piso).
Daí para a frente, eu não pensei em mais nada que resolva o problema 
diretamente, a não ser a verificaçao manual para os primeiros valores de 
p até conseguir um inteiro q entre 15p/11 e 10p/7.

Claro que, neste caso, a verificação é simples: p=5 já nos mostra um 
intervalo que contém um inteiro. Mas existe alguma outra forma de 
resolver este problema? De um modo geral, existe um mecanismo mais 
inteligente para se tratar deste tipo de desigualdade envolvendo números 
inteiros?

Abraço
Eduardo


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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