[obm-l] Re: [obm-l] sequências....

[yurigomes@xxxxxxxxxxxxxx]

  Oi Crom,
 Aih vão as soluções:

 1) Vamos mostrar por indução. Para n=1, temos a_1^3=a_1^2 => a_1=0 ou a_1=1.OK.
Além disso, 1+ 8.a_1 é quadrado perfeito.
 Suponha por indução que a_1, ...a_(n-1) sejam inteiros e que 1+ 8(a_1+...+a_(n-1)).(
Vc vai jah perceber pq essa ultima condição). Logo
  a_1^3+...+a_n^3= (a_1+...+a_n)^2 =>
(a_1^3+...+a_(n-1)^3)+ a_n^3= (a_1+...+a_(n-1))^2+ 2.a_n.(a_1+...+a_(n-1))+
a_n^2 =>
=>a_n^3= 2.a_n.(a_1+...+a_(n-1))+ a_n^2 =>
=> a_n=0 ou  a_n^2= 2.(a_1+...+a_(n-1))+ a_n =>
=>  a_n^2- a_n- 2.(a_1+...+a_(n-1))=0.
   delta= 1+ 8(a_1+...+a_(n-1)), que por indução, é quadrado perfeito (e
ímpar, como se pode ver).
 Assim, a_n= [1+- sqr(1+ 8(a_1+...+a_(n-1))]/2, que em qq dos casos é inteiro!
Para completar a indução, mostremos que 1+8(a_1+...+a_n) tbm é quadrado
perfeito.
 De fato:
 a_n^2= 2.(a_1+...+a_(n-1))+ a_n =>  1+8(a_1+...+a_n)= 4.a_n^2+ 4.a_n+ 1=
(2.a_n+ 1)^2, e assim a indução está completa.

 2) Escolha a_1= 1, a_2= -1, a_3= 2, a_4= -2, a_5= 3 e a_6= -3. Logo: muitos
termos se cancelam, e o problema se reduz a achar quatro reais a, b, c,
d t.q.
     (x- a)(x- b)(x- c)(x- d)= (x+ a)(x+ b)(x+ c)(x+ d).
  Vc pode observar que essa igualdade se reduz a um polinômio de grau 3,
da forma
   p(x)= r.x^3+ s.x
x=0 satisfaz tal equação, e p(x)/x= r.x^2+ s, que tem duas raízes reais
sss r.s <0. Veja que r= (a+b+c+d) e s= abcd(1/a+ 1/b+ 1/c+ 1/d). Tomando
a, b, c, d tais que esse produto dê negativo( por exemplo: a= 4, b=5, c=6
e d=-7, temos r>0 e s<0), as raízes 0, x_1 e x_2 de p(x) satisfazem a equação
inicial. Além disso, -x_1 e -x_2 tbm satisfazem, como é fácil de se verificar.
Daí, temos exatamente cinco soluções distintas.



-- Mensagem original --


>1)A sequência de números reais ( a_1,a_2,....,a_2000) satisfaz a condição:
>a_1^3+a_2^3+....+a_n^3=(a_1+a_2+....+a_n)^2 para todo n, 1<=n<=2000. Mostre
>
>que todo elemento da sequência é um número inteiro.
>2) Prove a existência de números reais distintos a_1,a_2,...a_10 tais que
>a
>equação
>(x-a_1)(x-a_2)....(x-a_10)=(x+a_1)(x+a_2).....(x+a_10), possui exatamente
>5
>raízes distintas...
>Qualquer ajuda, eu agradeço.
>           Crom
>

[]'s, Yuri
ICQ: 64992515


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