Re: [obm-l] volume n-dimensional.

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Sat, Jul 12, 2003 at 12:47:37PM -0300, ghaeser@zipmail.com.br wrote:
> 
> alguém pode me ajudar a calcular o volume do polígono n-dimensional cujos
> vértices são 
> (0,0..,0),(1,0,..,0),(0,1,0,..,0),...,(0,..,0,1)

Isto n~ao se chama um pol'igono, isto 'e chamado de politopo.

Seja f(n) o volume deste s'olido. Temos f(n) = 1/(n!).
Vamos provar este fato por indu,c~ao em n.
Voc^e deve observar que o caso n = 1 'e trivial,
o caso n = 2 'e elementar ('area de um tri^angulo)
e o caso n = 3 'e conhecido (volume de um tetraedro).

Primeiro observe que supondo o resultado para n temos
que o volume do s'olido em R^n de v'ertices 
(0,0,...,0), (t,0,...,0), (0,t,...,0), ... (0,0,...,t)
est igual a (t^n)/(n!) pois 'e obtido a partir do original
por uma homotetia de raz~ao t. O s'olido em R^(n+1) de v'ertices
(0,0..,0,0),(1,0,..,0,0),(0,1,0,..,0,0),...,(0,..,0,1,0),(0,...,0,0,1)
pode ser fatiado usando a 'ultima coordenada, vamos cham'a-la de s.
A fatia correspondente a s 'e de dimens~ao n e est o s'olido acima
para t = (1-s). Assim o volume desejado 'e a integral de 0 a 1
do volume da fatia o que d'a 1/(n+1)!.

Uma solu,c~ao totalmente sem c'alculo 'e a seguinte.
Seja p uma permuta,c~ao de {1,2,...,n} e defina Sp como
sendo o s'olido em R^n de v'ertices v0, v1, ..., vn
onde vk 'e o vetor com coordenada 1 na posi,c~ao p(i), i <= k
e coordenada 0 na posi,c~ao p(i), i > k
(assim v0 = (0,0,...,0) e vn = (1,1,...,1) para qualquer p).
Os n! s'olidos Sp t^em interiores disjuntos, s~ao levados uns
nos outros por isometrias de R^n (logo t^em o mesmo volume)
e sua uni~ao 'e o cubo unit'ario (que tem volume 1 por defini,c~ao).
Assim o volume de cada Sp 'e igual a 1/(n!).
N~ao 'e dif'icil ver que cada Sp tem o volume do seu s'olido (Cavalieri).

[]s, N.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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