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Re: [obm-l] Problemas da IMO
Realmente, sua solucao me parece perfeita.. Alem de nao usar que o
quadrilatero eh inscritivel.. legal.
Voce pensou nos outros? Pensei bem no 2 e no 3, mas nao consegui fechar
nenhum.. O 3 eu acredito que seja alguma desigualdade virando igualdade, e
quero tentar mais pra ver se da certo..
----- Original Message -----
From: <latino@lia.ufc.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Tuesday, July 15, 2003 12:05 PM
Subject: Re: [obm-l] Problemas da IMO
> Marcio,
> achei legal essa sua solucao por complexos. Uma outra solucao
> trivial (e acho que a de 99% dos participantes) seria a seguinte:
>
> quad. APDR inscritivel => PR = AD.sen(<BAC)
> quad. CQRD inscritivel => RQ = DC.sen(<ACB)
>
> PR = RQ => AD/DC = sen(<ACB)/sen(<BAC) = AB/BC (lei dos senos) (*)
>
> Sendo S e T os pontos de interseccao das bissetrizes internas dos
> angulos <ABC e <ADC, respectivamente, com o lado AC, temos:
>
> AS/SC = AB/BC = AD/DC = AT/TC Logo, S = T
> (1) (2) (3)
>
> (1) e (3) - teorema da bissetriz interna
> (2) - por (*)
>
> abracos,
>
> #####################################
> # MSc. Edson Ricardo de A. Silva #
> # Computer Graphics Group (CRAB) #
> # Federal University of Ceara (UFC) #
> #####################################
>
> On Tue, 15 Jul 2003, Marcio Afonso A. Cohen wrote:
>
> > Eu sei que ninguem gosta muito disso, mas esse problema 4 (que eu
ateh
> > imagino que nao seja dificil por plana) eh bem simples na conta bruta..
Eh
> > impressionante como complexos ajudam nos problemas de geometria da imo..
> > aquele artigo da eureka 6 eh realmente muito util!
> >
> > Coloque o circuncentro na origem, e represente os vertices pelos
> > complexos a,b,c,d, todos de modulo 1u.m.
> > Reta ab: z+abz' = a+b
> > Reta perpendicular a ab passando por d: z-abz'=d-abd'
> > Logo, o ponto P eh 2p = [a+b+d-ab/d]
> > Portanto, 2q = [a+c+d-ac/d] e 2r = [b+c+d-bc/d].
> > Como p,q,r sao colineares (reta de simpson), e |p-q| = |q-r|:
> > p-q = q-r, ou seja: b-c + ac/d - ab/d = a-b +bc/d-ac/d
> > Arrumando: (b-c) - (a/d)(b-c) = (a-b) - (c/d)(a-b) sse
(b-c)(d-a)=(a-b)(d-c)
> > Tirando modulo, isso significa que BC*AD = AB*DC. E isso fecha o
problema.
> > De fato, sendo I o peh da bissetriz de ABC em AC, entao, AI/IC = AB/BC e
vc
> > quer provar que I eh peh da bissetriz de ADC, i.e, que AI/IC=AD/DC
(teorema
> > da bissetriz interna, ida e volta). Portanto, eh suficiente provar que
AB*DC
> > = AD*BC.
> >
> > Vou pensar nos outros agora, esse foi o que eu achei que seria mais
> > facil.. (ja pensei no 2 e no 1 um pouco tmb..)
> >
> >
> > ----- Original Message -----
> > From: <gugu@impa.br>
> > To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > Cc: <obm@impa.br>; <edmilson@etapa.com.br>
> > Sent: Monday, July 14, 2003 3:38 PM
> > Subject: [obm-l] Problemas da IMO
> >
> >
> > >
> > >
> > > Prova da IMO retirada do Site http://www.mathlinks.go.ro/
> > >
> > > O Problema 1 é nois que mandou...
> > >
> > >
> > > First Day - 44th IMO 2003 Japan
> > >
> > > 1. Let A be a 101-element subset of the set S={1,2,3,...,1000000}.
Prove
> > that
> > > there exist numbers t_1, t_2, ..., t_{100} in S such that the sets
> > >
> > > Aj = { x + tj | x is in A } for each j = 1, 2, ..., 100
> > >
> > > are pairwise disjoint.
> > >
> > >
> > > 2. Find all pairs of positive integers (a,b) such that the number
> > >
> > > a^2 / ( 2ab^2-b^3+1) is also a positive integer.
> > >
> > > 3. Given is a convex hexagon with the property that the segment
connecting
> > the
> > > middle points of each pair of opposite sides in the hexagon is
sqrt(3) /
> > 2
> > > times the sum of those sides' sum.
> > >
> > > Prove that the hexagon has all its angles equal to 120.
> > >
> > >
> > > Second Day - 44th IMO 2003 Japan
> > >
> > > 4. Given is a cyclic quadrilateral ABCD and let P, Q, R be feet of the
> > > altitudes from D to AB, BC and CA respectively. Prove that if PR = RQ
then
> > the
> > > interior angle bisectors of the angles < ABC and < ADC are concurrent
on
> > AC.
> > >
> > > 5. Let x1 <= x2 <= ... <= xn be real numbers, n>2.
> > >
> > > a) Prove the following inequality:
> > >
> > > (sum ni,j=1 | xi - xj | ) 2 <= 2/3 ( n^2 - 1 )sum ni,j=1 ( xi - xj)^2
> > >
> > > b) Prove that the equality in the inequality above is obtained if and
only
> > if
> > > the sequence (xk) is an arithemetical progression.
> > >
> > > 6. Prove that for each given prime p there exists a prime q such that
> > n^p - p
> > > is not divisible by q for each positive integer n.
> > >
> > >
> >
> >
=========================================================================
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >
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> >
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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