Re: [obm-l] Problemas da IMO

[latino@xxxxxxxxxx]

Marcio,
achei legal essa sua solucao por complexos. Uma outra solucao
trivial (e acho que a de 99% dos participantes) seria a seguinte:

quad. APDR inscritivel  =>  PR = AD.sen(<BAC)
quad. CQRD inscritivel  =>  RQ = DC.sen(<ACB)

PR = RQ  =>  AD/DC = sen(<ACB)/sen(<BAC) = AB/BC  (lei dos senos)   (*)

Sendo S e T os pontos de interseccao das bissetrizes internas dos
angulos <ABC e <ADC, respectivamente, com o lado AC, temos:

AS/SC  =  AB/BC  =  AD/DC  =  AT/TC   Logo, S = T
      (1)       (2)       (3)

(1) e (3) - teorema da bissetriz interna
(2) - por (*)

abracos,

#####################################
# MSc. Edson Ricardo de A. Silva    #
# Computer Graphics Group (CRAB)    #
# Federal University of Ceara (UFC) #
#####################################

On Tue, 15 Jul 2003, Marcio Afonso A. Cohen wrote:

>     Eu sei que ninguem gosta muito disso, mas esse problema 4 (que eu ateh
> imagino que nao seja dificil por plana) eh bem simples na conta bruta.. Eh
> impressionante como complexos ajudam nos problemas de geometria da imo..
> aquele artigo da eureka 6 eh realmente muito util!
>
>     Coloque o circuncentro na origem, e represente os vertices pelos
> complexos a,b,c,d, todos de modulo 1u.m.
>     Reta ab: z+abz' = a+b
>     Reta perpendicular a ab passando por d: z-abz'=d-abd'
>     Logo, o ponto P eh 2p = [a+b+d-ab/d]
>     Portanto, 2q = [a+c+d-ac/d] e 2r = [b+c+d-bc/d].
> Como p,q,r sao colineares (reta de simpson), e |p-q| = |q-r|:
>     p-q = q-r, ou seja: b-c + ac/d - ab/d = a-b +bc/d-ac/d
> Arrumando: (b-c) - (a/d)(b-c) = (a-b) - (c/d)(a-b) sse (b-c)(d-a)=(a-b)(d-c)
> Tirando modulo, isso significa que BC*AD = AB*DC. E isso fecha o problema.
> De fato, sendo I o peh da bissetriz de ABC em AC, entao, AI/IC = AB/BC e vc
> quer provar que I eh peh da bissetriz de ADC, i.e, que AI/IC=AD/DC (teorema
> da bissetriz interna, ida e volta). Portanto, eh suficiente provar que AB*DC
> = AD*BC.
>
>     Vou pensar nos outros agora, esse foi o que eu achei que seria mais
> facil.. (ja pensei no 2 e no 1 um pouco tmb..)
>
>
> ----- Original Message -----
> From: <gugu@impa.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Cc: <obm@impa.br>; <edmilson@etapa.com.br>
> Sent: Monday, July 14, 2003 3:38 PM
> Subject: [obm-l] Problemas da IMO
>
>
> >
> >
> > Prova da IMO retirada do Site http://www.mathlinks.go.ro/
> >
> > O Problema 1 é nois que mandou...
> >
> >
> > First Day - 44th IMO 2003 Japan
> >
> > 1. Let A be a 101-element subset of the set S={1,2,3,...,1000000}. Prove
> that
> > there exist numbers t_1, t_2, ..., t_{100} in S such that the sets
> >
> > Aj = { x + tj | x is in A } for each j = 1, 2, ..., 100
> >
> > are pairwise disjoint.
> >
> >
> > 2. Find all pairs of positive integers (a,b) such that the number
> >
> > a^2 / ( 2ab^2-b^3+1) is also a positive integer.
> >
> > 3. Given is a convex hexagon with the property that the segment connecting
> the
> > middle points of each pair of opposite sides in the hexagon is  sqrt(3) /
> 2
> > times the sum of those sides' sum.
> >
> > Prove that the hexagon has all its angles equal to 120.
> >
> >
> > Second Day - 44th IMO 2003 Japan
> >
> > 4. Given is a cyclic quadrilateral ABCD and let P, Q, R be feet of the
> > altitudes from D to AB, BC and CA respectively. Prove that if PR = RQ then
> the
> > interior angle bisectors of the angles < ABC and < ADC are concurrent on
> AC.
> >
> > 5. Let x1 <= x2 <= ... <= xn be real numbers, n>2.
> >
> > a) Prove the following inequality:
> >
> > (sum  ni,j=1 | xi - xj | ) 2 <= 2/3 ( n^2 - 1 )sum ni,j=1 ( xi - xj)^2
> >
> > b) Prove that the equality in the inequality above is obtained if and only
> if
> > the sequence (xk) is an arithemetical progression.
> >
> > 6. Prove that for each given prime p there exists a prime q such that
> n^p - p
> > is not divisible by q for each positive integer n.
> >
> >
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
>
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================