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Temos a equação: x =
sqrt(2+sqrt(2-sqrt(2+x))) No universo dos Reais, a operação Raiz quadrada só é definida para números não negativos, daí temos: x>=0 Analogamente temos que: x+2>=0 x>=-2 2-sqrt(2+x)>=0 x<=2 Elevando a equação original ao quadrado temos:
x^2-2=sqrt(2-sqrt(2+x)) x<=sqrt(2) ou x<=-sqrt(2) Fazendo a intersecção entre todas as restrições: sqrt(2)<=x<=2 Dividindo por 2: sqrt(2)/2<=x/2<=1 É fácil ver que o intervalo de x/2 esta dentro de um intervalo de seno ou co-seno, então podemos fazer a substituição; sen(y)=x/2 x=2*sen(y) Retornando a
observação a nossa equação original: 2*sen(y) =
sqrt(2+sqrt(2-sqrt(2+2*sen(y)))) Elevando ao quadrado: (…) fazendo as devidas substituições de arcos
duplos chegamos a: (nao é dificil, mas quem quiser solução
completa me mande um e-mail mrllima@terra.com.br
) (…) cos(8y)=sen(y) cos(8y)=cos(y-90) observando o intervalo de sen(y), é facil ver que: 45<=y<=90 consequëntemente: 360<=8y<=720 finalmente: 8y=450-y y=50 ou 8y=630+y y=90 logo: x=2*sen(90) x=2 ou x=2*sen(50) x=
1,5320888862379560704047853011108 Substituindo as respostas encontradas podemos verificar rapidamente que 2 não é raiz, mas: x=2*sem(50) É a única solução real da equação
proposta. |