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Re: [obm-l] Re: 0,999...=1
Bem,vou tentar dar a minha versao desta
historia:0,99999....=1 e o mesmo que dizer que
podemos tornar a diferença 1-(0,999999....999)tao
pequena quanto quisermos sem chegar em
zero,bastando uma quantidade grande o bastante
de noves.De fato,a diferença e da forma
0.0000000....001 e basta botar bastaaaaaaante
zero pra essa joça ficar tao pequena quanto for
possivel.Tudo bem?
Te mais!!!Ass.:Johann
hugo iver <aitkch@yahoo.com.br> wrote:Você se
impressionaria com o número de vezes que esse
assunto já surgiu na lista. Eu particularmente
fiquei muito impressionado isso quando vi pela
primeira vez (bons tempos de inocência...).
Aí vai algo que talvez ajude um pouco (ou talvez
não). Provavelmente deve haver muita besteira e
imprecisões no meio mas o pessoal concerta.
Desculpem se o nível de bobagens e erros passar
do aceitável.
[]´s
Em |R estão definidas duas operações, (+) adição
e (*) multiplicação, e uma relação (<=) menor
igual. Admitimos aqui também q o conjunto |R,
munido das duas operações e da relação citada
anteriormente (|R,+,*,<=) satisfaz as seguintes
propriedades:
A1 - se x E |R e y E |R então x+y E |R
A2 - (x+y)+z=x+(y+z)
A3 - x+y=y+x
A4 - x+0=x
A5 - para todo x E |R existe um y E |R tal que
x+y=0, a esse y indica-se por -x: x+(-x)=0
M1 - se x E |R e y E |R então x*y E |R
M2 - (x*y)*z=x*(y*z);
M3 - x*y=y*x;
M4 - x*1=x;
M5 - para todo x E |R e #0 existe um y E |R tal
que x*y=x, a esse y indica-se por 1/x: x*(1/x)
AM - x*(y+z)=x*y+x*z
Um conjunto que satisfaz a essas propriedades é
um Corpo
O1 - se x<=y e y<=x então x=y
O2 - se x<=y e y<=z então x<=z
O3 - x<=y ou y<=x
O5 - se x<=y e 0<=z entao x+z<=y+z
O6 - se x<=y e 0<=z então x*z<=y*z
Um conjunto que s! atisfaz a essas propriedades e
às anteriores é um Corpo Ordenado, portanto o
conjunto (|R,+,*,<=) é um Corpo Ordenado
Agora definiremos alguns conceitos q diferenciam
|R de |Q (Conjunto dos Racionais)
Seja S um conjunto não vazio de números Reais.
Se em S existe um número t :s< t,Vs E S então
chamamos t de max S;
Se em S existe um número t :< s,Vs E S então
chamamos t de min S;
A todo número Real r|max S <= r chamamos de
Fronteira Superior de S;
A todo número Real r|r <= min S chamamos de
Fronteira Inferior de S
Exemplo:
S={4,5,6,7,8}
a)4=min S;
b)8=max S;
c)3,2,0,-1... são Fronteiras Inferiores de S;
d)9,100,23,11... são Fronteiras Superiores de S.
S={xE|R |4<=x<8}
a)4=min S;
b> não existe max S;
c)3,2,0,-1... todo número <=4 é Fronteira
Inferior de S;
d)8,9,100,23,11... todo número t, 8<=t é
Fronteira Superior de S.
Nesse último exemplo vemos que S não admite max
mas admite uma! menor Fronteira Superior. A essa
menor Fronteira Superior chamamos de supremum de
S, sup S. Análogamente existem conjuntos que não
admitem min mas admitem uma maior Fronteira
Inferior, a essa maior Fronteira chamamos de
infimum, inf S.
Enunciaremos a seguir como uma propriedade que na
verdade pode ser demonstrada (é um teorema).
A Propriedade do Supremo
"Todo conjunto de números Reais que possui uma
Fronteira Superior possui também um supremum."
Análogamente todo conjunto de números Reais que
possui uma Fronteira Inferior possui também um
infimum.
Pode-se mostrar também que o supremum e o infimum
são únicos pela propriedade dos intervalos
encaixantes. Agora podemos aproximarmo-nos da
questão: 0,999=1 ? Vejamos o seguinte conjunto:
S={xE|R : 0<=x<=1}
1=sup S. Se admitimos 0,999... como sendo
diferente de 1 temos que que todo número s E S
deve ser <=0,999... e então 0,999...=sup S. O que
é uma contradição, pois o supremum de um conjunto
é único. Portanto devemos concluir que
0,999...=1.
Acho que o argumento é válido pela noção de
0,999... que se tem como número, não como
símbolo.
----- Original Message ----- From: "Victor Luiz"
<victorluiz16@yahoo.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Thursday, July 10, 2003 2:49 PM
Subject: [obm-l] 0,999... = 1
> -----BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-----
> Hash: SHA1
>
> Talvez vocês já tenham visto essa antes, eu
sozinho não consegui
> descobrir...
>
> Prova 1:
> 1/3 = 0,333...
> Multiplicando por 3 os dois membros dessa
igualdade, obtemos:
> 1 = 0,999...
>
> Prova 2:
> x = 0,999
> Multiplicando por 10 os dois membros dessa
igualdade, obtemos:
> 10x = 9,999.. = 9 + 0,999.. = 9 + x
> Logo, x = 1.
>
> Prova 3:
> 0,999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ...
> Como o segundo membro dessa igualdade é uma PG
de razão 1/10, o limite da
> soma é dado por S = a1/(1 - q).
> Logo, S = 0,9/(1 - 0,1) = 0,9/0,9 = 1
> Portanto 0,999... = 1
>
>
> Victor Luiz Salgado de Lima.
>
> - ----
> Spam sux. www.wecanstopspam.org
> -----BEGIN PGP SIGNATURE-----
> Ver! sion: GnuPG v1.2.1 (MingW32) - GPGOE 0.4.1
>
>
iD8DBQE/DaccpBwZ7xrHmVsRAi9gAJ46+Fndb6iLkJV4d8/V01SOYKtCWACdGWle
> ZMkVfgVDFyAJ7bMZGYMvsZk=
> =OFa4
> -----END PGP SIGNATURE-----
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista
e usar a lista em
>
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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