Você se impressionaria com o número de vezes que esse assunto já surgiu na lista. Eu particularmente fiquei muito impressionado isso quando vi pela primeira vez (bons tempos de inocência...).
Aí vai algo que talvez ajude um pouco (ou talvez não). Provavelmente deve haver muita besteira e imprecisões no meio mas o pessoal concerta.
Desculpem se o nível de bobagens e erros passar do aceitável.
[]´s
Em |R estão definidas duas operações, (+) adição e (*) multiplicação, e uma relação (<=) menor igual. Admitimos aqui também q o conjunto |R, munido das duas operações e da relação citada anteriormente (|R,+,*,<=) satisfaz as seguintes propriedades:
A1 - se x E |R e y E |R então x+y E |R
A2 - (x+y)+z=x+(y+z)
A3 - x+y=y+x
A4 - x+0=x
A5 - para todo x E |R existe um y E |R tal que x+y=0, a esse y indica-se por -x: x+(-x)=0
M1 - se x E |R e y E |R então x*y E |R
M2 - (x*y)*z=x*(y*z);
M3 - x*y=y*x;
M4 - x*1=x;
M5 - para todo x E |R e #0 existe um y E |R tal que x*y=x, a esse y indica-se por 1/x: x*(1/x)
AM - x*(y+z)=x*y+x*z
Um conjunto que satisfaz a essas propriedades é um Corpo
O1 - se x<=y e y<=x então x=y
O2 - se x<=y e y<=z então x<=z
O3 - x<=y ou y<=x
O5 - se x<=y e 0<=z entao x+z<=y+z
O6 - se x<=y e 0<=z então x*z<=y*z
Um conjunto que satisfaz
a essas propriedades e às anteriores é um Corpo Ordenado, portanto o conjunto (|R,+,*,<=) é um Corpo Ordenado
Agora definiremos alguns conceitos q diferenciam |R de |Q (Conjunto dos Racionais)
Seja S um conjunto não vazio de números Reais.
Se em S existe um número t :s< t,Vs E S então chamamos t de max S;
Se em S existe um número t :< s,Vs E S então chamamos t de min S;
A todo número Real r|max S <= r chamamos de Fronteira Superior de S;
A todo número Real r|r <= min S chamamos de Fronteira Inferior de S
Exemplo:
S={4,5,6,7,8}
a)4=min S;
b)8=max S;
c)3,2,0,-1... são Fronteiras Inferiores de S; d)9,100,23,11... são Fronteiras Superiores de S.
S={xE|R |4<=x<8}
a)4=min S;
b> não existe max S;
c)3,2,0,-1... todo número <=4 é Fronteira Inferior de S;
d)8,9,100,23,11... todo número t, 8<=t é Fronteira Superior de S.
Nesse último exemplo vemos que S não admite max mas admite uma menor
Fronteira Superior. A essa menor Fronteira Superior chamamos de supremum de S, sup S. Análogamente existem conjuntos que não admitem min mas admitem uma maior Fronteira Inferior, a essa maior Fronteira chamamos de infimum, inf S.
Enunciaremos a seguir como uma propriedade que na verdade pode ser demonstrada (é um teorema).
A Propriedade do Supremo
"Todo conjunto de números Reais que possui uma Fronteira Superior possui também um supremum." Análogamente todo conjunto de números Reais que possui uma Fronteira Inferior possui também um infimum.
Pode-se mostrar também que o supremum e o infimum são únicos pela propriedade dos intervalos encaixantes. Agora podemos aproximarmo-nos da questão: 0,999=1 ? Vejamos o seguinte conjunto:
S={xE|R : 0<=x<=1}1=sup S. Se admitimos 0,999... como sendo diferente de 1 temos que que todo número s E S deve ser <=0,999... e então 0,999...=sup S. O que é uma contradição, pois o supremum de um conjunto é único. Portanto devemos concluir que 0,999...=1.
Acho que o argumento é válido pela noção de 0,999... que se tem como número, não como símbolo.
----- Original Message -----
Sent: Thursday, July 10, 2003 2:49 PM
Subject: [obm-l] 0,999... = 1
> -----BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-----
> Hash: SHA1
>
> Talvez vocês já tenham visto essa antes, eu sozinho não consegui
> descobrir...
>
> Prova 1:
> 1/3 = 0,333...
> Multiplicando por 3 os dois membros dessa igualdade, obtemos:
> 1 = 0,999...
>
> Prova 2:
> x = 0,999
> Multiplicando por 10 os dois membros dessa igualdade, obtemos:
> 10x = 9,999.. = 9 + 0,999.. = 9 + x
> Logo, x = 1.
>
> Prova 3:
> 0,999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ...
> Como o segundo membro dessa igualdade é uma PG de razão 1/10, o limite da
> soma é dado por S = a1/(1 - q).
> Logo, S = 0,9/(1 - 0,1) = 0,9/0,9 = 1
> Portanto 0,999... = 1
>
>
> Victor Luiz Salgado de Lima.
>
> - ----
> Spam sux.
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> Version:
GnuPG v1.2.1 (MingW32) - GPGOE 0.4.1
>
> iD8DBQE/DaccpBwZ7xrHmVsRAi9gAJ46+Fndb6iLkJV4d8/V01SOYKtCWACdGWle
> ZMkVfgVDFyAJ7bMZGYMvsZk=
> =OFa4
> -----END PGP SIGNATURE-----
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> =========================================================================