[obm-l] Sugestao para solucao

["mmrocha1" <mmrocha1@xxxxxxxxxx>]

Saudacoes a todos!
Faco Matematica na UERJ e gosto de me divertir resolvendo (na verdade, na maior 
parte das vezes, soh tentando) resolver problemas olimpicos. Nao sou aquilo que se 
poderia chamar de "aluno talentoso", mas sou curioso, persistente e estudo 
Matematica porque realmente gosto. Alem disso, penso que estudar temas 
olimpicos pode ajudar a melhorar a minha formacao. Jah escrevi para a lista 
ajudando na solucao de problemas bem simples, jah fui corrigido pelo Prof Morgado, 
e tudo isso para mim eh muito bom!
Bem vamos ao que interessa.
Tem dois problemas que gostaria de uma ajuda para resolver. Nao eh necessario 
dar a solucao, mas uma sugestao jah serve. Um eh de Algebra, do livro do Adilson 
Goncalves, e o outro eh de uma apostila de treinamento olimpico.

1) Seja A um anel, tal que x^2 = x para todo x de A. Prove que A eh comutativo.
A minha tentativa foi a seguinte: Tomei x e y de A. Assim, (x + y)^2 = x + y. 
Desenvolvendo, temos:
x.x + x.y + y.x + y.y  = x + y.
x^2 + x.y + y.x  +  y^2 = x + y.
Apos a simplificacoes possiveis, cheguei a 
xy = -(yx)
Mas isso nao significa que A eh comutativo. Onde errei?

Aqui vai o outro problema.

2) Considere o conjunto formado pelos elementos 2, 3 e 5. Se multiplicamos 
quaisquer dois elementos e dividimos o resultado pelo terceiro elemento, o resto da 
divisao eh 1. Existem outros conjuntos de 3 elementos com esta mesma 
propriedade, ou este eh o unico? "
Nao creio que seja dificil, mas nao consigo enxergar um bom caminho.

Gostaria de agradecer a atencao de todos, e me desculpem se os problemas nao 
sao um desafio intelectual para a maioria.

Um abraco,
Marcio Rocha.

 
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