Re:[obm-l] geometria

["Fábio Dias Moreira" <fabio.dias.moreira@xxxxxxxxxxxx>]

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De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
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Data: Wed, 25 Jun 2003 18:03:59 -0300
Assunto: [obm-l] geometria

> não quero ser chato mas aqui mando as mesmas questões dos meu ultimos e-mail que ainda não sei como resolver:
> O numero de triangulos  que podemos construir com lados medindo 5, 8 e x, que pertence ao conjunto dos naturais não nulos, de tal forma que seu ortocentro seja interno ao triangulo é: R;3
> [...]

O ortocentro é interno ao triângulo se e somente se o triângulo é acutângulo. Logo

x^2 < 5^2 + 8^2, 5^2 < x^2 + 8^2 e 8^2 < x^2 + 5^2 <==>
x^2 < 89; x^2 > -39; x^2 > 39 <==>
sqrt(39) < 7 <= x <= 9 < sqrt(89).

Logo x pertence a {7, 8, 9}, e a resposta é 3.

> [...]
> Num triangulo ABC traça-se ceviana interna AD, que o decompõe em dois triangulos semelhantee não congruentes ABD e ACD. Conclui-se que tais condições:
> R; só são satisfeitas por triangulos retangulos
> [...]

Seja a = BAC, b = ABC, c = ACB

O ângulo ADB é a soma dos ângulos DAC e DCA, pois é ângulo externo do triângulo DAC. Em particular, ele não é igual a nenhum dos dois, logo ADB = ADC <==> ADB = ADC = 90 graus. Como os ângulos de ADC são 90, c, e 90-c e os de ADB são 90, b e 90-b, e ADC é semelhante a ADB, temos que b=c ou b=90-c. Se b=90-c, ABC é retângulo. Se b=c, então ABC é isósceles, logo ADC e ADB são congruentes.

> [...]
> algebra- Dados os conjuntos M, N e P tais que N esteja contido em M, 
> n( M I N)=60%n(M), n(N I P)=50%, n( M I N I P)=40% e n(P)=x%n(m), o valor de x é:R; 50
> Obs:n(A) indica o número de elementos de um conjunto A
> e I indica intersecção.
> [...]

Tem certeza que não há algo errado? Se N está contido em M, M I N = N, logo N I P = M I N I P, logo 50% = 40%, *absurdo*, a menos que essas porcentagens refiram-se a coisas diferentes.

[]s,

-- 
Fábio "ctg \pi" Dias Moreira

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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