Re: [obm-l] geometria

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] geometria

Oi, Daniel:

Questao interessante - eu nunca tinha pensado nisso.

Inicialmente, para m >= 3, o poligono regular com 2m lados sempre terah algumas diagonais paralelas (angulo = 0). Assim, o caso de diagonais paralelas deve ser excluido.

Mas acho que feita esta ressalva, a resposta eh afirmativa. 

Imagine um n-gono regular convexo inscrito numa circunferencia. 

O angulo entre duas diagonais quaisquer (inclusive paralelas) sempre serah igual a semi-soma ou semi-diferenca de arcos compreendidos por vertices do n-gono. 
Mas as medidas destes arcos serao sempre multiplos inteiros de 2Pi/n radianos (a medida de um arco delimitado por dois vertices adjacentes). 
Logo, a medida do angulo entre duas diagonais quaisquer sempre serah igual a algum multiplo inteiro de Pi/n radianos.

Alem disso, o menor angulo entre duas diagonais tera medida igual a Pi/n radianos (metade do menor arco e correspondente ao caso em que as duas diagonais unem um dado vertice a dois outros vertices adjacentes).

Logo, concluimos que todo angulo formado por duas 2 diagonais de um poligono de n lados, será sempre multiplo do menor angulo POSITIVO formado pelas diagonais do poligono.

******

A proposito, acabei de achar um erro na minha mensagem corrigindo a resposta do Felipe para o problema original proposto pelo Daniel (veja abaixo). 
Alguem mais consegue ver qual eh esse erro?
Uma dica: trata-se de um erro off-topic.


Um abraco,
Claudio.


on 20.06.03 18:11, Daniel Pini at daniel@fnn.net wrote:

Minha duvida é:
Todo ângulo formado por duas 2 diagonais de um poligono de n lados, será sempre multiplo do menor angulo formado pelas diagonais do poligono?
Mesmo que se forme fora do centro?

----- Original Message -----
From: Claudio Buffara <mailto:claudio.buffara@terra.com.br>  
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Friday, June 20, 2003 11:37 AM
Subject: Re: [obm-l] geometria

Oi, Felipe:

No primeiro tudo OK, com uma excessao: voce tem que descartar o divisor par n = 2, jah que nao existe poligono com 2 lados.

Logo, a alternativa correta eh a (a) -> 17 poligonos.

Um abraco,
Claudio.

on 20.06.03 05:41, felipe mendona at felipensador@hotmail.com wrote:

 Oi Daniel , veja o que fiz :

    Nesse primeiro a resposta é justamente o numero de divisores pares de 360.
Primeiro pensei que a diagonal passa pelo centro do poligono se e somente se o poligono possuir um numero par de lados.O segundo passo foi imaginar que se  o menor angulo formado entre duas diagonais nesse poligono for um valor inteiro, entao todo angulo formado entre duas diagonais nesse poligono tb sera inteiro.O 3 passo foi deduzir que 360/n (onde n é o numero de lados do poligono) , representa o valor do menor angulo formado entre 2 diagonais.Entao 360/n é necessariamente um valor inteiro .Agora vem a crucial pergunta: Quantos divisores pares 360 possui?Eu usei combinatoria , e encontrei 18 como resposta. Alternativa b.


     Nesse 2 problema eu discordo  do seu gabarito...Eu encontrei S como resposta!
Se vc fazer um bom desenho seguindo atentamente os dados do problema vc vai sem dificuldades ver que a area em questao possui valor S e nao 4S/15.



                                Até mais...............


                                                                 Felipe Mendonça                     Vitória-ES

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