Re: [obm-l] Espacos de Dimensao Infinita

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Ola Cláudio!

Bem, não sei bem se sua dúvida é a que eu estou pensando. Vou tentar
esclarecer aquilo que eu compreendo deste assunto, apesar de não saber
mostrar explicitamente uma base para A.

Considere X a família de todos os subconjuntos L.I. de A. Um subconjunto Y
de A é LI. se dado um subconjunto{x_1, x_2, ..., x_n} *finito* de Y não
existem números reais r_1, r_2, ..., r_n tais que r_1*x_1 + r_2*x_2 + ... +
r_n*x_n é a seqüência nula. Podemos ordenar parcialmente a família X pela
relação Y_1 < Y_2 por definição se Y_1 está contido (ou é igual) em Y_2. Se
tivermos uma cadeira F de elementos de X (uma cadeia é um subconjunto de X
totalmente ordenado, ou seja, onde dois elementos quaisquer podem ser
comparados), então existe um subconjunto Y* de X tal que para todo Y de F
temos Y < Y*, ou seja, o conjunto F possui uma cota superior. Basta tomar Y*
= União{ Y : Y em F }. Pelo lema de Zorn, existe um conjunto Y em X que é
maximal, isto é, se Y' é um elemento de X que pode ser comparado com Y então
Y' < Y, e portanto Y é uma base de A.

Esta base Y de A é tal que todo elemento de A se expressa como combinação
linear de finitos termos de Y. Para se falar em combinação linear infinita,
precisaria se definir somas infinitas, o que nem sempre dá para se fazer em
espaços vetoriais quaisquer, e mesmo que desse deveríamos criar restrições,
pois não podemos calcular 1-1+1-1+1-1+-..., por exemplo. A frase do livro do
Elon se refere a uma base como a que eu falei, sem considerar somas
infinitas.

Determinar uma tal base, acho que é um problema difícil. Para começar a base
tem de ser não enumerável. Eu não tenho idéia, talvez não seja possível
mostrar explicitamente uma tal base.

Abraço!
Duda.

From: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
> Oi, Frederico:
>
> Eh justamente esse o ponto. Acho que uma combinacao linear de infinitos
> termos eh problematica...
>
> A minha duvida vem do cap. 3 do livro Algebra Linear do Elon Lages Lima -
> Colecao Matematica Universitaria - 3a. edicao.
>
> La, na pagina 28, ele diz que o conjunto
> {(1,0,0,...); (0,1,0,...); (0,0,1,...); ...}
> nao gera A, apesar de ser uma base para A*.
>
> Um abraco,
> Claudio.


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================