Re: [obm-l] Algelin - Bases

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Niski, vou me intrometer na discussão.

Você pode identificar os polinômios com o vetor de seus coeficientes
1+x-3x^2 = (1, 1, -3)
2+2x-6x^2 = (2, 2, -6)
3+3x-9x^2 = (3, 3, -9)
e trabalhar com os vetores, depois voltar para os polinômios. Escrevendo
assim, fica muito fácil de enxergar que os dois últimos são múltiplos do
primeiro.

Você quer escrever
a_0 + a_1x + a_2x^2 = (a_0, a_1, a_2)
como múltiplo de
(1, 1, -3)
então a_1 = a_0 e a_2 = -a_0. Logo o vetor geral do espaço é
(a_0, a_0, -3a_0) = a_0*(1, 1, -3) = a_0(1 + x - 3x^2)
que é uma reta passando pela origem (vendo no R^3) e o conjunto de todos os
polinômios esticados ou encolhidos de (1+x-3x^2).

Tente resolver (1+x), (1+2x), (1+3x).

Espero ter ajudado.
Duda.

From: "niski" <fabio@niski.com>
> Claudio, inicialmente, obrigado pela resposta!
> Quando disse que o problema é babaca, não quis de maneira alguma afirmar
>   de alguma forma que apenas os "mais capazes" podem resolver. Quando
> disse que é babaca, quero dizer que é elementar. (é claro, elementar
> para quem já conhece suficientemente bem a materia)
> Bom, mas vamos ao que interessa:
> Certo, eu entendi que os dois ultimos vetores são combinacoes linear do
> primeiro, ou seja o conjunto é L.D
> Então voce simplesmente jogou fora os dois ultimos e ficou com o
> primeiro e afirmou que é uma base do subespaco de P[2].
> Certo, mas para afirmar isto, voce não teria que provar que é 1+x-3x^2 é
> L.I (Como é unitario, é L.I certo?) e que 1+x-3x^2 gera P[2]...
> P[2] nao é a0 + a1(x) + a2(x^2) , a0,a1,a2 Reais.
> Então deve ser provado que eu posso escrever
> a0 + a1(x) + a2(x^2) em funcao de 1+x-3x^2 ?? Como fazer?
>
> E outra, como estou no começo do estudo da Algebra linear, é um pouco
> dificil me soltar dos conceitos geometricos.
> Sendo assim, vc poderia por favor, montar um problema analogo a este mas
> inves de polinomios  com vetores geometricos em R^2 ? Pq é facil ver o
> que é uma base pensando no plano cartesiano.
> Só para eu ter uma noção do que acontece quando eu estou resolvendo esse
> tipo de problma abstratamente.
>
> Mais uma vez, obrigado Claudio!
>
> >>Encontre uma base do subespaco  de P[2] gerado pelo vetor dado :
> >>1+x-3x^2, 2+2x-6x^2, 3 + 3x - 9x^2
>
> > Oi, Niski:
> >
> > Fique tranquilo, pois nao existe problema babaca. Pode existir resposta
> > babaca, em geral fornecida por algum babaca. Alias, babaca tambem eh
quem
> > nao sabe algo e tem medo ou vergonha de perguntar.
> >
> > Sobre o problema, repare que 2+2x-6x^2 = 2(1+x-3x^2) e 3+3x-9x^2 =
> > 3(1+x-3x^2).
> >
> > Logo, todos os vetores do subespaco gerado por estes tres vetores sao
> > multiplos de 1+x-3x^2.
> >
> > Assim, um conjunto (unitario) composto por qualquer um deles constitui
uma
> > base desse subespaco, o qual tem dimensao = 1.
> >
> > *****
> >
> > A dica fala em usar a base canonica de P[2] = {1, x, x^2} e trabalhar
com as
> > coordenadas dos vetores em elacao a esta base.
> >
> > Assim, [1+x-3x^2] = (1,1,-3), [2+2x-6x^2] = (2,2,-6), etc...
> > Presumivelmente, as pessoas tem mais facilidade pra trabalhar com
triplas
> > ordenadas do que com polinomios e assim conseguem ver mais facilmente
que os
> > tres vetores sao multiplos escalares uns dos outros.
>
>
>
> --
> [about him:]
>   It is rare to find learned men who are clean, do not stink and have a
> sense of humour.
> -Gottfried Whilhem Leibniz
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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