[obm-l] Bolinhas em Gavetas, PA de Primos e Média de Primos

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

> Neste caso, por serem distintos, os anéis colocados num mesmo dedo
obedecem
> a uma certa ordem. E se, em vez de anéis, tivéssemos seis bolinhas
numeradas
> de 1 a 6 e quatro gavetas numeradas de 1 a 4? (Bolinhas colocadas numa
mesma
> gaveta não obedeceriam a ordem alguma).
>
> Estou muito tempo ausente, por isso predoem-me se já circulou pela lista
os
> seguintes problemas:
>
> 1) Qual o número máximo de termos que pode ter uma PA cujos termos são
todos
> números primos?
>
>
> 2) A média aritmética de n números primos é 20. Qual é o maior desses
> números?
>
> []s, Josimar
>

Oi, Josimar:

Primeiro as bolinhas...

O no. de maneiras de colocar as 6 bolinhas nas 4 gavetas seria 4^6, pois
haveria 4 gavetas possiveis para se colocar
cada uma das 6 bolinhas.

*****

2) O enunciado estah ambiguo, pois ha diversas solucoes. Por exemplo, com n
= 2 os primos poderiam ser {3,37}, {11,29} e {17,23}; com n = 3, teriamos
{2,5,53}, {2,11,47}, {2,17,41}, etc.

No entanto, se a pergunta for "Qual o maior primo que pode pertencer a um
conjunto de primos distintos com média aritmética igual a 20?", entao
teremos o
seguinte:

Sejam P1 < P2 < ... < Pr os primos menores que 20 e Q1 < Q2 < ...< Qs os
primos maiores que 20 que compoem a media. Naturalmente, teremos r + s = n.

A fim de que maximizar Qs, a media deverah ter o maior numero possivel de
Pi's e o menor numero possivel de Qj's.

Os Pi pertencem a {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} ==>
r <= 8  e  Soma(Pi) <= 2 + 3 + ... + 19 = 77

No "melhor" caso, teriamos r = 8 e s = 1 ==>
Media = (77 + Q1)/9 = 20 ==>
Q1 = 103, que eh primo.

Logo, o maior primo possivel eh 103.

*****

1) Esse problema eh o mais interessante mas, infelizmente, parece estar em
aberto.
Conjectura-se que existem PA's arbitrariamente longas cujos termos sao todos
primos.
No entanto, a PA desse tipo mais longa que se conhece tem apenas 22 termos.
Veja o site:
http://mathworld.wolfram.com/PrimeArithmeticProgression.html
e também:
http://www.utm.edu/research/primes/lists/top20/ArithmeticProg2.html

*****

Um abraco,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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