[obm-l] Aproximacoes e Taylor

[niski <fabio@xxxxxxxxx>]

Ola pessoal. Por favor me ajudem com esta questão.
É pedido para provar que
56/81 < ln(2) < (56/81) + 1/100

Bem, primeiro eu calculei ln(2) deste modo (Polinomio de Taylor de ordem 
4):
ln((1+x)/(1-x)) =~  2x + (2x^3)/3

Utilizando a formula do erro de Lagrange, pode-se escrever :
(note que para 1+x/1-x ser = 2, deve se ter x = 1/3)

notacao : f(n)(a)  lê-se derivada n-ésima de f no ponto a

|ln(2) - (2(1/3) + 2((1/3)^3)/3)| = |(f(5)(a))*(1/3)^5|/5

onde 0 <= a <= 1/3

Estou tentando achar um M > 0, tal que f(5)(a) <= M para a compreendido 
entre 0 e 1/3 assim eu faria

|ln(2) - (2(1/3) + 2((1/3)^3)/3)| <= M*(1/3)^5/5
-M*(1/3)^5/5 <= ln(2) - (2(1/3) + 2((1/3)^3)/3) <= M*(1/3)^5/5

-M*(1/3)^5/5 - ((2(1/3) + 2((1/3)^3)/3)) <= ln(2) <= M*(1/3)^5/5 + 
(2(1/3) + 2((1/3)^3)/3)

Como achar este M para completar minha prova?! Existe outra saida melhor?!

Tentando achar este M percebi outra coisa curiosa:
Eu vi no Mathematica que f(5)(0) = 48 e f(5)(1/3) = 187.945
Então Teoricamente
|ln(2) - (2(1/3) + 2((1/3)^3)/3)| < |200*(1/3)^5|/5|
O que é verdade pelo Mathematica, o estranho é que eu peguei
|ln(2) - (2(1/3) + 2((1/3)^3)/3)| < |45*(1/3)^5|/5|
E ele continuou dando TRUE! não deveria ser false? Visto que 0 < a < 1/3
e quanto menor a menor f(5)(a) ...

Obrigado pessoal!
-- 
[about him:]
  It is rare to find learned men who are clean, do not stink and have a 
sense of humour.
-Gottfried Whilhem Leibniz

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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