[obm-l] MMC

[Rafael <matduvidas@xxxxxxxxxxxx>]

Se {r,s} representa o MMC dos inteiros positivos r e
s, o número de ternos ordenados (a,b,c) de inteiros
positivos qara os quais {a, b} = 1000, {b, c} = 2000 e
{c, d} = 2000 é:
a)50    b)70    c)100    d)170    e)200

Oi Pessoal!

Devo estar esquecendo de alguma coisa ou não tem
alternativa pra esta questão.

Para dois números terem como MMC o número 1000, como:
1000 = 2³.5³

Um dos números tem que ter pelo menos 2³ e o outro
pelo menos 5³. Então comecei pelo menor e fui vendo
quem podia ser seu par para terem MMC = 1000:
2³ e 5³
2³ e 5³.2
2³ e 5³.2²
2³ e 5³.2³

Depois, continuando a ter como referência o número com
2³, podemos ter 2³.5, 2³.5² e por fim 2³.5³ que é o
próprio 1000:
2³.5 e 5³
2³.5 e 5³.2
2³.5 e 5³.2²
2³.5 e 5³.2³

2³.5² e 5³
2³.5² e 5³.2
2³.5² e 5³.2²
2³.5² e 5³.2³

Mas se você pegar o 1000, pode pegar todos os seus
divisores que o MMC será 1000. 1000 tem 16 divisores
(1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200,
250, 500, 1000)

Então formará 16 pares cujo MMC é 1000. Só não podemos
escquecer que já tínhamos 12 pares cujo MMC dava 1000
e entre esses apareceram 3 pares onde o 1000 era um
dos números. Então na verdade não são 16, mas 13 novos
pares, que juntando com os 12 que já existiam
totalizam 25.

Para dois números terem MMC igual a 2000, um deles tem
que ter o fator 2^4 e o outro o fator 5³. Mas como
pelo problema, nossos pares têm elementos cujo MMC tem
que dar 1000 com um número e 2000 com outro, não
poderemos colocar nenhum número que tenha 2^4 como
fator porque 1000 não é múltiplo de 2^4 então nunca
seria MMC. Assim, o único divisor de 2000 que
poderemos usar é o próprio 2000 porque aí o MMC será
2000 quando estiver com ele e ele tem o 2^4. Os outros
números podem ser quaisquer divisores de 2000 (1, 2,
4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 40, 50, 80, 100, 125, 200,
250, 400, 500, 1000, 2000)

Mas como esses números têm que ter MMC igual a 1000,
só poderão entrar os divisores e 1000. Ou seja, os 3
números a, b e c só poderão ser formados pelo 2000 e
mais um daqueles pares que vimos que têm MMC = 1000.

Já vimos que são 25 pares, mas temos que contar as
permutações porque o problema falou em pares
ordenados. Então são 6 permutações para cada conjunto
de 3 números. A não ser o conjunto {1000, 1000, 2000}
que tem só 3 permutações:
= 24.6 + 3
= 144 + 3
= 147 ternos ordenados.

O que foi que esqueci???

Abraços,

Rafael.

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