Re: [obm-l] diferenca entre raizes

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

----- Original Message -----
From: "Fábio Dias Moreira" <fabio.dias.moreira@terra.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sunday, June 01, 2003 4:04 PM
Subject: Re: [obm-l] diferenca entre raizes


> -----BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-----
> Hash: SHA1
>
> On Monday 26 May 2003 22:51, Claudio Buffara wrote:
> > [...]
> > Respondendo a sua pergunta:
> > Eu nao enxerguei fatoracao nenhuma. Porisso, assumi que o polinomio
> > original de grau 4 se fatorava no produto de dois polinomios quadraticos
(o
> > que, alias, eh sempre verdade) e, apos um pouco de braco, obtive os
> > coeficientes correspondentes.
> > [...]
>
> Um macete que o Ralph já ensinou aqui na lista também é muito útil para
> fatorar polinômios de quarto grau: procure no seu problema original
condições
> suficientes (mesmo que não sejam necessárias) para que x seja raiz.
>
> Por exemplo, seja f(x)=x^2-3x+3. Resolva f(f(x))=x.
>
> Basta que f(x)=x, logo sabemos um dos fatores de segundo grau da equação
de
> quarto grau.
>

Oi, Fábio:

Gostei desse macete!
De fato:
f(x) = x ==> f(f(x)) = f(x) = x

Mas f(x) = x ==>
x^2 - 3x + 3 = x ==>
x^2 - 4x + 3 = 0 ==>
x = 1  ou  x = 3

f(f(x)) - x = (x^2 - 3x + 3)^2 - 3(x^2 - 3x + 3) + 3 - x  =
x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 10x + 3 = p(x)

Dividindo p(x) por x^2 - 4x + 3, obtemos x^2 - 2x + 1 (resto = 0) ==>
p(x) = (x - 1)^3*(x - 3) ==>
as raízes de f(f(x)) = x são x = 1 (tripla) e x = 3.

*****

O problema original era fatorar o polinômio:
p(x) = x^4 + 2x^3 - x^2 - 6x - 3

Você consegue ver alguma forma de se aplicar o macete?

Um abraço,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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