Re: [obm-l] problema real

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

Vou dar um palpite, espero que seja de ajuda...
O que você quer é, dado um polinômio de quarto grau, e um intervalo [a, b]
na reta real, obter uma restrição com base nos coeficientes desse polinômio
que indique que esse polinômio é crescente nesse intervalo, certo?

Bom, o que eu estava pensando é:
- se o polinômio for crescente, então a derivada dele no ínicio do intervalo
é >= 0 e não há uma raiz para a derivada no intervalo em questão
- como a derivada é um polinômio de grau 3, então existe uma fórmula com
base nos coeficientes do pol. da derivada indicando quais são as raízes do
mesmo.

Se você colocar como restrição que nenhuma das 3 raízes do polinômio estejam
no intervalo desejado você garante que o polinômio de grau 4 obtido é
crescente...

Você então poderia gerar 4 problemas de otimização, o primeiro coloca 0
raízes antes de a e 3 após b, o segundo coloca 1 raiz antes de a e 2 após
b....

Pegue a melhor solução dentre as dadas pelos 4 problemas.

Outras restrições podem ser necessárias para garantir que o polinômio de
grau 3 não tenha raízes complexas, mas essas também são feitas sobre os
coef. do polinômio.

> Boa tarde a todos. Este eh um problema real, ligado aa minha atividade
> profissional. Acho importante, por uma questao de etica e respeito aos
> colegas, dar esta informacao. Eu tenho, quando posso (minha funcao nao eh
> exatamente esta, mas nao resisto...), pensado nele, mas ainda nao cheguei
a
> uma conclusao:
>
> Em diversos modelos computacionais ligados as simulacao do sistema
eletrico
> brasileiro, a variacao do nivel do reservatorio de uma usina hidreletrica
em
> funcao do volume de agua acumulado eh representado por um polinomio de
ateh o
> quarto grau (na maioria dos casos, de fato do 4o grau). Dispomos de uma
tabela
> de observacoes cota x volume gerada por levantamentos aerofotogrametricos
e,
> com base, nela, ajustamos um polinomio por minimos quadrados, observando
se o
> coeficiente de determinacao R2 esta OK. Acontece que, para que o polinomio
> obtido seja uma representacao aceitavel do fenomeno, eh necessario que, na
> faixa de variacao de volume analisada, o polinomio seja estritamente
> crescente, pois assim sao reservatorios, por natureza. Logo, se
encontrarmos
> por regressao um polinomio com R2 muito proximo a 1 mas cujo grafico na
faixa
> em questao seja uma "cobra", entao este polinomio nao serve, pois nada tem
a
> ver com o fenomeno fisico em questao.
>
> Eu estive pensando em utilizar algum algoritmo de Programacao Nao Linear
para
> resolver o seguinte problema:
> Sendo V1,...Vn os volumes observados, H1,..Hn as cotas (conhecidas)
> correspondentes a tais volumes, C0, C1...C4 os coeficientes do polinomio
(Ci,
> coef. do termo de grau i) a serem determinados e P a funcao polinomial com
> tais coeficientes, entao
>
> Minimizar Soma (i=1 a n) [P(Vi) - Hi]^2, variando C0...C4,
> sujeito a que o polinomio seja estritamente crescente no intervalo [V1 ,
Vn],
> (supondo-se os Vi em ordem crescente e distintos dois a dois).
>
> A dificuldade aqui eh representar esta restricao em funcao dos
coeficientes do
> polinomio, de modo a que se possa aplicar um algoritmo de programacao
> matematica. Isto eh, achar uma relacao entre os coeficientes de modo que,
na
> faixa de trabalho, a sua derivada, um polinomio do 3o grau, seja sempre
> positiva. A rigor, o polinomio tambem nao deveria ter inflexoes na faixa
de
> seu volume util (a compreendida ente V1 e Vn), pois nao eh usual
reservatorios
> com tal comportamento. Mas, isto nao eh tao importante quanto ser
estritamente
> crescente. Eh possivel que haja uma saida simples, mas ainda nao me deu o
> "estalo".
>
> Um abraco a todos
> Artur
>
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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