[obm-l] problema real

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxx>]

Boa tarde a todos. Este eh um problema real, ligado aa minha atividade
profissional. Acho importante, por uma questao de etica e respeito aos
colegas, dar esta informacao. Eu tenho, quando posso (minha funcao nao eh
exatamente esta, mas nao resisto...), pensado nele, mas ainda nao cheguei a
uma conclusao:

Em diversos modelos computacionais ligados as simulacao do sistema eletrico
brasileiro, a variacao do nivel do reservatorio de uma usina hidreletrica em
funcao do volume de agua acumulado eh representado por um polinomio de ateh o
quarto grau (na maioria dos casos, de fato do 4o grau). Dispomos de uma tabela
de observacoes cota x volume gerada por levantamentos aerofotogrametricos e,
com base, nela, ajustamos um polinomio por minimos quadrados, observando se o
coeficiente de determinacao R2 esta OK. Acontece que, para que o polinomio
obtido seja uma representacao aceitavel do fenomeno, eh necessario que, na
faixa de variacao de volume analisada, o polinomio seja estritamente
crescente, pois assim sao reservatorios, por natureza. Logo, se encontrarmos
por regressao um polinomio com R2 muito proximo a 1 mas cujo grafico na faixa
em questao seja uma "cobra", entao este polinomio nao serve, pois nada tem a
ver com o fenomeno fisico em questao.

Eu estive pensando em utilizar algum algoritmo de Programacao Nao Linear para
resolver o seguinte problema:
Sendo V1,...Vn os volumes observados, H1,..Hn as cotas (conhecidas)
correspondentes a tais volumes, C0, C1...C4 os coeficientes do polinomio (Ci,
coef. do termo de grau i) a serem determinados e P a funcao polinomial com
tais coeficientes, entao

Minimizar Soma (i=1 a n) [P(Vi) - Hi]^2, variando C0...C4, 
sujeito a que o polinomio seja estritamente crescente no intervalo [V1 , Vn],
(supondo-se os Vi em ordem crescente e distintos dois a dois).

A dificuldade aqui eh representar esta restricao em funcao dos coeficientes do
polinomio, de modo a que se possa aplicar um algoritmo de programacao
matematica. Isto eh, achar uma relacao entre os coeficientes de modo que, na
faixa de trabalho, a sua derivada, um polinomio do 3o grau, seja sempre
positiva. A rigor, o polinomio tambem nao deveria ter inflexoes na faixa de
seu volume util (a compreendida ente V1 e Vn), pois nao eh usual reservatorios
com tal comportamento. Mas, isto nao eh tao importante quanto ser estritamente
crescente. Eh possivel que haja uma saida simples, mas ainda nao me deu o
"estalo".

Um abraco a todos
Artur


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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