Re: [[obm-l]

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxx>]

"Diego Navarro" <diego@navarro.mus.br> wrote:
> Numa demonstração bizarra que ninguém entendeu, a nossa professora de
microeconomia usou
> uma tal de "derivada total" que nunca tinha visto na vida. Segundo ela,
> 
> df = (df/dx)*dx +(df/dy)*dy
Oi Diego, O termo derivada total eh uma extensao ao R^n do conceito de
derivada na reta real. A derivada total, quando existe, eh uma funcao que
aproxima linearmente a funcao primitiva na vizinhanca de um ponto. No caso,
supondo-se que a f seja diferenciavel, a sua derivada total eh uma funcao
linear que, a cada elemento(dx, dy) do R^2, associa o numero real  (df/dx)*dx
+(df/dy)*dy (aqui os d significam derivadas parciais). Eh uma extensao para
R^2 do classico f'(x)dx do caso unidimensional. Podemos verificar facilemente
que o valor associado ao elamento (dx, dy) eh o produto escalar do gradiente
de f por (dx, dy). Para maiores detalhes, recomende que vc consulte a parte de
funcoes de diversas variaveis em um bom livro de Analise. 

> 
> No caso, queríamos a razão entre as duas derivadas parciais onde a
função fosse constante,
> logo
> 
> df=0 ==> (df/dx)*dx = - (df/dy)*dy
> (-df/dx)/(df/df/dy)=  dy/dx

Isso eh na realidade aplicacao da regra da cadeia. Eh que em aulas que nao sao
de matematica, como Fisica e Economia, os professores geralmente nao se
preocupam muito com a precsao matematica, mas sim com as aplicacoes. Eh tambem
importante ter certeza que a f em questao eh mesmo diferenciavel.
> 
> O que causou pânico nos mais sensíveis e uma fúria revolucionária nos
mais impacientes.
> 
> O mathreference.com sugere que "total derivative" é o vetor gradiente. O
que raios está
> acontecendo aqui? Essa interpretação do diferencial é um fato geral?
Na realidade, o gradiente eh o vetor cujas componentes (as derivadas parciais
em um ponto) sao os coeficientes da funcao linear que aproxima a f em uma
vizinhanca do ponto em questao. Suponhamos, por exemplo que f(x, y) = xy^2 +
x^3y. Derivando parcialmente com relacao a x obtemos f_x(x,y) = y^2 + 3x^2y e
com relacao a y vem f_y(x,y) = 2xy + + x^3. Logo, no ponto (x,y) o gradiente
eh o vetor (y^2 + 3x^2y , 2xy + + x^3). A derivada total de f no ponto (x,y)
eh a funcao linear que a cada (a,b) de R^2 associa o numero real (2xy + +
x^3)a + (2xy + + x^3)b. Este numero eh a derivada em (x,y) aplicada ao
elemento (a,b). parece complicado, mas nao eh tanto assim. 
Um abraco
Artur


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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