Re: Re:[obm-l] integral

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

----- Original Message -----
From: "Henrique Patrício Sant'Anna Branco" <hpsbranco@superig.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Tuesday, June 03, 2003 12:56 AM
Subject: Re: Re:[obm-l] integral


> > Ta certo isso?
> >
> > Derivando
> > f(x) = sen(x - log(1+x)),
> > eu obtive
> > f'(x) = (1 - 1/(1+x))cos(x - log(1+x)) =
> >  = (x/(1+x))*cos(x - log(1+x)) <> sen(x)/(1+x)
> >
> > Acho que o Mathematica falhou dessa vez.
> >
> > Tambem nao achei essa integral em nenhuma tabela - minha
> > aposta eh que ela nao pode ser expressa como uma
> > combinacao de funcoes elementares conhecidas.
>
> Segundo o Maple...
>
> > int(sin(x)/(1+x),x)
>    Si(1+x)*cos(1)-Ci(1+x)*sin(1)
>
> Onde Si e Ci ele define como int(sin(t)/t, t=0..x) e gamma + ln(x) +
> int((cos(t)-1)/t, t=0..x).
>
> Agora eu pergunto... Qual a utilidade de definir tais funções? Essa
primeira
> me lembra o limite fundamental trigonométrico, mas acho que não tem nada a
> ver... Opiniões?
>
> Henrique.
>
Oi, Henrique:

Vamos checar:
f(x) = Si(1+x)cos(1) - Ci(1+x)sen(1) ==>
f'(x) = Si'(1+x)cos(1) - Ci'(1+x)sen(1)

Si'(1+x) = sen(1+x)/(1+x)
Ci'(1+x) = 1/(1+x) + [cos(1+x) - 1]/(1+x) = cos(1+x)/(1+x)

Essas duas últimas igualdades são consequências da regra da cadeia e do
seguinte fato:
d(integral(0 a x) f(t))/dx = f(x)

Assim, f'(x) = [sen(1+x)/(1+x)]cos(1) - [cos(1+x)/(1+x)]sen(1) ==>

f'(x) = [sen(1+x)cos(1) - cos(1+x)sen(1)]/(1+x) = sen(1+x-1)/(1+x) =
sen(x)/(1+x).

Putz! E não é que deu certo?
Isso quer dizer que eu perdi minha aposta....se bem que Ci e Si estão longe
de ser funções "elementares".

*****

Quanto à utilidade das funções Si e Ci, eu acho que elas aparecem como
soluções de algumas equações diferenciais encontradas na física-matemática.
Também vale notar a existência da função complexa "exponencial integral
(Ei)", dada pela fórmula:
Ei(ix) = Ci(x) + i*Si(x)   onde i^2 = -1    (isso te lembra alguma coisa?)

Um abraço,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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