RE: [obm-l] problema de Topologia

["Artur Costa Steiner" <artur_steiner@xxxxxxx>]

Para o primeiro problema, o Carlos apresentou a solucao, que foi igual
aa minha. Vou dar a solucao que encontrei para o segundo. Talvez alguem
tenha uma outra.
Vamos inicialmente mostrar que g eh continua em S. Para tanto,
observemos que, se x1 e x2 estao em S, entao d(x1,f(x1)) <=
d(f(x1),f(x2))+ d(f(x2),x2) + d(x2,x1). Logo, d(x1,f(x1))-d(x2,f(x2))
=g(x1) - g(x2) <= d(f(x1),f(x2)) + d(x1,,x2). Considerando a relacao aa
qual f satisfaz, segue-se que g(x1) - g(x2) <d(x1,x2) + d(x1,x2) =
2d(x1,x2). Permutando-se x1 e x2, obtemos g(x2) - g(x1) <2d(x1,x2) e,
portanto, |g(x1) - g(x2)| < 2d(x1,x2), do que concluimos que g eh
uniformemente continua em E. Como E eh compacto, g entao assume um
minimo global em algum a em E. Para vermos que g(a) =0, observemos que,
se g(a)>0, entao a<>f(a). Pela relacao a que f satisfaz, temos entao que
d(f(a),f(f(a))) = g(f(a))<d(a,f(a)) = g(a). Logo, g(f(a))<g(a), o que
contraria a hipotese de que a eh minimo global de f. Temos, portanto,
que g(a) = 0 e f(a) =a, o que prova que a eh ponto fixo de f.
Para concluir, resta demonstrar que a eh unico. De fato, se a'<>a for
tambem ponto fixo de f, entao, pela relacao a que f satisfaz em E,
segue-se que d(a,a')=d(f(a), f(a'))<d(a,a'), uma contradicao. Logo, a eh
o unico ponto fixo de f em E. 
Um abraco
Artur     


Artur Costa Steiner
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[mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Artur Costa
Steiner
Sent: Saturday, May 31, 2003 12:45 PM
To: OBM
Subject: [obm-l] problema de Topologia


Acho este problema bonito
Sejam X un espaco topolologico, Y um espaco topologico de Haursdorff e f
e g funcoes continuas de X em Y. Mostre que E = {x em X | f(x) = g(x)}
eh um subconjunto fechado de X.
 
Este outro tambem eh interessante: Seja S um espaco metrico compacto com
metrica d e seja f:S=>S uma funcao tal que d(f(x), f(y)) < d(x,y) para
todos x e y em S tais que x<>y.  Mostre que f possui um, e apenas um,
ponto fixo em S.
Sugestao: mostre que g:X=>R dada por g(x) = d(x, f(x)) assume um valor
minimo em em S e que este valor eh 0.
 
Um abraco
Artur

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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