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Re: [obm-l] Conjuntos (complementando)

To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Subject: Re: [obm-l] Conjuntos (complementando)
From: "marcelo.paiva.jr4" <marcelo.paiva.jr4@xxxxxxxxxx>
Date: Sun, 1 Jun 2003 10:58:01 -0300
Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Estou colocando, quase exatamente, o meu raciocínio 
sobre algumas conseqüências das propriedades de 
conjuntos.
Gostaria que alguém me corrigisse, caso esteja errado.

1º) CONSIDERAÇÕES SOBRE (A^c união B)
"pelo diagrama de Euler-Venn:"
Demonstração:
(1) p/ (A diferente B)
(A^c união B) => U - A união B => A^c
(2) p/ (A inter B)
(A^c união B) => U - A união B => (A - B)^c
Conclusão: Analizando (1) e (2), nota-se que em (2) há a 
restrição (A - B), fato que torna "aparentemente" 
diferente de (1). Entretanto, visto que em (1) 
poderiamos incluir "- B" de forma redundante, pois não 
altera o resultado, concluimos que (1) e (2) são iguais 
algebricamente.

"pela forma algebrica:"
(1) resolvendo (A - B)^c, temos:
(A - B)^c => (A inter B^c)^c => A^c união (B^c)^c
=> A^c união B.
Portanto, (A^c união B) = (A - B)^c      

(2) (A^c união B) = {x E A^c união x E B}
= {x E[(x E U) e (x nãoE A)] união x E B}
= {[x E U e x nãoE A] união x E B}
= {x E U e x nãoE A ou x E B}
para abranger todos os casos (inteseção e união no 
diagrama de Euler-Venn), definirei x nãoE A ou x E B, 
como, B - A. continuando a resolução, temos:
= {x E U e x E(B - A)}
= {x E U e x E B e x nãoE A} (I)
Agora, resolvendo (A - B)^c, temos:
(A - B)^c => U - (A - B) 
= {x E U e x nãoE (A - B)}
= {x E U e x nãoE A e x E B)} (II)
Concluimos, portanto, que (I) = (II)
"comentário" Essa para ficou meio confusa para mim, 
estou certo ao fazer essa abrangência?

Estarei sinceramente grato por qualquer ajuda.
Marcelo Paiva Jr.
 
> Claudio, muito obrigado pela ajuda, essa identidade que
 
> você colocou, realmente, facilita e muito os cálculos 
> -Fiquei um bom tempo analisando uma saida, e não tive 
> essa idéia, "vivendo e aprendendo"-. Gostaria de fazer 
> mais uma pergunta. Para resolver essa última 
> conseqüência, por exemplo, A inter B^c, não existe outr
a 
> maneira, tem que se considerar a condição (interseção o
u 
> reunião) dos conjuntos A e B, digo isso diante -
> novamente- do diagrama de Euler-ven. Você concorda?
> 
> De qualquer forma, obrigado pela atenção.
> Marcelo Paiva Jr. 
> 
> > Oi, Marcelo (e Morgado):
> > 
> > Pelo que eu entendi, voce quer "abrir" a expressao:
> > (A - B)^c.
> > 
> > (X^c = complementar de X).
> > 
> > Se for esse o caso, use a seguinte identidade:
> > A - B  =  A inter B^c  ==>
> > 
> > (A - B)^c = (A inter B^c)^c = A^c uniao (B^c)
> ^c = A^c uniao B
> > 
> > Na primeira igualdade, eu usei a equivalencia acima, 
na
>  
> > segunda uma das leis de DeMorgan, e na terceira o fat
o 
> de que 
> > (X^c)^c = X, para todo conjunto X.
> > 
> > Por outro lado:
> > A^c - B^c = A^c inter (B^c)
> ^c = A^c inter B, o que eh diferente de 
> > A^c uniao B, a menos que B  = A^c.
> > 
> > Espero que isso ajude.
> > 
> > Um abraco,
> > Claudio.
> > 
> > 
> > 
> > 
> > ---------- Cabeçalho inicial  -----------
> > 
> > De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> > Cópia: 
> > Data: Sat, 31 May 2003 22:07:08 -0300
> > Assunto: Re: [obm-l] Conjuntos (refazendo)
> > 
> > > Marcelo, ninguem ta se animando a te responder (eu 
cr
> eio) 
> > porque a sua 
> > > mensagem eh de leitura muito, muito dificil. Repost
e 
> a 
> > mensagem sem 
> > > simbolos e acentos. Na que eu recebi tem um A^c ? B
^c
> .
> > > Melhor teria sido escrever   complemento de (A unia
o 
> B) = 
> > (complemento 
> > > de A)  uniao (complemento de B) ...
> > > 
> > > marcelo.paiva.jr4 wrote:
> > > 
> > > >olá pessoal, recentemente, postei uma mensagem de 
um
>  
> > > >exercício de conjuntos e com minha solução. Analis
an
> do-a 
> > > >em casa, percebi que usei algumas aplicações 
> > > >erroneamente. Por exemplo:
> > > >É correto fazer (A U B)^c = A^c ? B^c,
> > > >mas não é (A - B)^c = A^c - B^c (como eu fiz) 
> > > >Analisando esse último (A^c -
>  B^c) no diagrama de Eule-
> > > >Ven, notamos que a codição (reunião ou interseção)
 e
> m 
> > > >que se encontram o conjunto A e o B altera o resul
ta
> do. 
> > > >Por exemplo:
> > > >para A ? B, temos:
> > > >A^c - B^c = B - A
> > > >e para A "diferente" B, temos:
> > > >A^c - B^c = B
> > > >Gostaria de saber se existe alguma propriedade par
a 
> > > >diferença de conjuntos & complementar, tipo como a
 q
> ue 
> > > >usei erroneamente, (A - B)^c = A^c -
 B^c. Ou algum 
> > > >método para solucionar de forma direta, questões c
om
> o a 
> > > >que eu postei (estou colocando novamente abaix
> > rama de Euler-ven, pois este necessitaria 
> > > >de várias condições, e, no caso da utilização de t
rê
> s 
> > > >conjuntos ficaria algo impraticável.
> > > >
> > > >
> > > >  
> > > >
> > > >>(ITA-
> 96) Sejam A e B subconjuntos não vazios de R, e 
> > > >>considere as seguintes afirmações:
> > > >>I. (A - B)^c   (B ? A^c)^c = vazio
> > > >>II. (A - B^c)^c = B - A^c
> > > >>III. [(A^c - B) ? (B - A)]^c = A
> > > >>Sobre essas afirmações, podemos garantir que:
> > > >>(A) Apenas afirmação I é verdadeira.
> > > >>(B) Apenas a afirmação II é verdadeira.
> > > >>(C) Apenas III é verdadeira.
> > > >>(D) Todas as afirmações são verdadeiras
> > > >>(E) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
> > > >>    
> > > >>
> > > >
> > > >
> > > >Obrigado pela atenção. Estarei grato por qualquer 
> > > >informação.
> > > >Marcelo Paiva Jr.
> > > >
> > > > 
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