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Cumprindo o prometido.. :)
2) Algo que eh util em varios problemas de
recorrencia eh ir calculando os 1o termos da sequencia para ver o que esta
acontecendo:
No mes 0, Carmelino (C) nada fez e portanto
tem M(0) = S(0) = a (M de montante total).
Ja no mes 1, C ganha S(1) = a + b de salario e ele
ganha i*M(0) de juros (pois os juros incidem sobre
3) Seja p(n) a resposta pedida. p(1)=p(2)=1, pq pra
ganhar taca sao necessarios ao menos 3 torneios. Vamos olhar para
p(3):
Para que o torneio nao termine no 3o torneio, eh
razoavel dividir a situacao em dois casos:
a) Se o vencedor do 2o torneio
for diferente do vencedor do 1o (o que ocorre com probabilidade 4/5), entao o
vencedor do torneio3 pode ser qq um que a taca nao sera ganha.
b) Se por outro lado, o vencedor
V(2) do 2o torneio for igual ao do 1o - V(1) (o que ocorre com prob. 1/5),
entao para a taca nao ser ganhar no 3o,basta que V(3) seja diferente de V(2) (o
que ocorre com prob. 4/5).
Somando, veja que p(3) = 4/5 + 1/5 *
4/5 = 24/25
Agora p(4):
a) Se V(2) != V(1) (prob. 4/5),
entao o problema agora eh: Qual a probabilidade de, nos torneios
2,3,4, a taca nao ser dada para ninguem. E isso eh justamente p(3) (apenas os
torneios mudaram de nome).
b) Se V(2)=V(1) (prob. 1/5),
entao o torneio 3 tem que ser ganho por um time diferente de V(1) (prob. 4/5), e
dai basta que a taca nao seja ganha nos torneios 3,4 (essa probabilidade eh
p(2)=1).
Portanto, p(4) = 4/5 * p(3) + 1/5 * 4/5 *
p(2)
Esse raciocinio pode ser generalizado de maneira
analoga:
Para calcular p(n+2), divida em dois
casos:
a) Se V(2)!=V(1) (prob. 4/5),
entao basta saber a probabilidade de a taca nao ser ganha nos torneios
2,3,...,n+2, que eh p(n+1).
b) Se V(2)=V(1) (prob. 1/5),
entao deve-se ter V(3)!=V(2) (prob.4/5) e dai a taca nao deve ser ganha nos
torneior 3,4,...,n+2, o q ocorre com prob. p(n).
Logo, p(n+2) = 4/5 * p(n+1) + 1/5 * 4/5 * p(n),
i.e, 25p(n+2) = 20p(n+1) + 4p(n).
Resolvendo a eq. caracteristica correspondente:
25t^2 - 20t - 4 = 0, donde t = (2 +- 2sqrt(2)) / 5.
Logo, p(n) = A* [(2+2sqrt(2))/5]^n +
B*[(2-2sqrt(2))/5]^n
Analisando p(1) e p(2) (ou mais simples ainda, note
que pondo n=0 na recorrencia, tem-se p(0) = (25-20)/4 = 5/4 para a recorrencia
fazer sentido em 0):
A+B = 5/4
2*(A+B) + 2sqrt(2)*(A-B) = 5 => A-B =
5sqrt(2)/8
Logo A = [10+5sqrt(2)]/16 e B =
[10-5sqrt(2)]/16.
Isso fecha o problema..
O 2 ja tem dono, serah feito em breve :)) O
fato de ele receber mensalmente e soh poupar anualmente parece deixar a coisa um
pouquinho mais chata de ser escrita.
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