RES: [obm-l] Provas da Cone Sul(vamos resolve-las!!!!!)

["Alex Abreu" <alex.abreu@xxxxxxxxxx>]

Olá João

    Sua solução eh parecida com a minha, mas desconfio que a resposta seja
1+3k(k+1)/2 e dah para formalizar assim:
dividimos a figura em "triangulos" dah seguinte maneira

n=4     1            n=7             1
       1 1                          1 1
      2 0 3                        2 2 3
     2 2 3 3                      4 2 3 3
                                 4 4 0 5 5
                                6 7 7 8 5 9
                               6 6 7 8 8 9 9

n=10               1
                  1 1
                 2 2 3
                4 2 3 3             Nos zeros vc repete o caso 4
               4 4 0 5 5
              6 6 0 0 5 7
             8 6 0 0 0 7 7
            8 8 0 0 0 0 9 9
           a b b c d d e 9 f
          a a b c c d e e f f

Em geral primeiro dividimos a borda e o centro vai cair num caso jah feito.
Mas em cada triangulo temos no máximo um bola vermelha e uma no centro.
portanto no máximo 1+3(k+1)k/2 bolas e a configuração do João mostra uma com
exatamente esse número

    Alex Correa Abreu
-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
[mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br]Em nome de João Gilberto
Ponciano Pereira
Enviada em: quinta-feira, 29 de maio de 2003 18:01
Para: 'obm-l@mat.puc-rio.br'
Assunto: RE: [obm-l] Provas da Cone Sul(vamos resolve-las!!!!!)


Outra interessante da Cone Sul:

Ex. 5:
Seja n = 3k+1, onde k é um inteiro, k>=1. Constrói-se um arranjo triangular
de lado n formado por círculos de mesmo raio como o mostrado na figura para
n=7.
Determinar, para cada k, qual o maior número de círculos vermelhos tangentes
entre si.

Resposta:
1+3(k-1)(k)/2.
A configuração é simples: para cada linha, coloca-se uma bolinha vermelha e
duas bolinhas brancas. Mais ou menos assim:

            V
           B B
          B V B
        V B B V
        B B V B B
       B V B B V B
      V B B V B B V
     B B V B B V B B
    B V B B V B B V B
   V B B V B B V B B V
  B B V B B V B B V B B
 B V B B V B B V B B V B
V B B V B B V B B V B B V

A prova está no número de tangências de caba bolinha branca com bolinhas
vermelhas na borda (2 no máximo) e no interior (3 no máximo). Vou tentar
formalizar algo mais concreto e envio.

-----Original Message-----
From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
[mailto:peterdirichlet2002@yahoo.com.br]
Sent: Thursday, May 29, 2003 1:56 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Provas da Cone Sul(vamos resolve-las!!!!!)


E ai turma,que tal a gente resolver a provba da Cone Sul??

Olimpiada Brasileira de Matematica <obm@impa.br> wrote:

Caros(as) amigos(as) da lista,

Ja' estao no nosso arquivo de provas os testes do 1 e 2 dias
da XIV Olimpiada de Matematica do Cone Sul.

http://www.obm.org.br/provas.htm

Abracos, Nelly.

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