[obm-l] Re: [obm-l] equações

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

----- Original Message -----
From: "Rafael" <matduvidas@yahoo.com.br>
To: "OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, May 28, 2003 2:59 PM
Subject: [obm-l] equações


> Considere as equações
> x^2 + bx + c = 0
> x^2 + b'x + c' = 0
>
> onde b, c, b' e c' são inteiros tais que:
> (b - b')^2 + (c - c')^2 > 0
>
> Se as equações possuem uma raiz comum então, sobre as
> outras raízes pode-se afirmar que:
> a) São inteiros distintos
> b) São inteiros não distintos
> c) São racionais não inteiros distintos
> d) São racionais não inteiros e iguais
> e) São racionais
>
> Tenho que a resposta é a alternativa a), mas não
> consegui chegar a essa conclusão.
>
> Abraços,
>
> Rafael.
>
Oi, Rafael:

Realmente, as alternativas não são mutuamente exclusivas. Veja abaixo:

Inicialmente, como as equações são mônicas e c e c' são inteiros, temos que
as raízes são inteiras ou irracionais (pelo teorema das raízes racionais).
Isso elimina (c) e (d).

Agora, sejam:
"a" e "u" as raízes de x^2 + bx + c = 0, e
"a" e "v" as de x^2 + b'x + c' = 0.

Teremos:
(i) a + u = b
(ii) au = c
(iii) a + v = b'
(iv) av = c'

(i) - (iii) ==> u - v = b - b'

(ii) - (iv) ==> a(u - v) = c - c'

Logo, (b - b')^2 + (c - c')^2 = (1 + a^2)(u - v)^2 é inteiro e positivo.

Em particular, teremos que u <> v ==>
as outras raízes são distintas ==>
eliminamos (b).

Assim, ficamos entre (a) e (e), as quais, infelizmente, são compatíveis (se
u e v são inteiros distintos, então eles também são racionais).

De fato, a alternativa (a), mais restritiva, é verdadeira.
Sabemos que as raízes são inteiras ou irracionais conjugadas (isto é x1 = a
+ raiz(b) e x2 = a - raiz(b)).
Como as duas equações têm uma raiz comum e como os coeficientes são
inteiros, as outras raízes deveriam ser idênticas também. Só que sabemos que
elas são distintas ==> contradição ==> as outras raízes são inteiras e
distintas.

Um abraço,
Claudio.



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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