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Re: [obm-l] Geometria



Oi, Jorge:
 
No primeiro problema, com A(0,4) e B(2,3), o coeficiente angular de AB é (3 - 4)/(2 - 0) = -1/2
 
O diâmetro perpendicular a AB (e, portanto, às duas retas tangentes à circunferência que são paralelas a AB) terá coeficiente angular = -1/(-1/2) = 2.
 
Como o diâmetro contém a origem (centro da circunferência), a sua equação será:
y = 2x
 
Logo, os pontos de tangência terão abscissas satisfazendo a:
x^2 + (2x)^2 = 5 ==>
x^2 = 1 ==>
x = 1   ou   x = -1 ==>
y = 2   ou   y = -2.
 
Logo, os pontos de tangência serão C1 = (1,2) e C2 = (-1,-2).
 
Naturalmente, o ponto mais próximo de AB será C1, cuja abscissa é 1.
 
*****
 
Sobre o segundo problema, a resposta do seu livro é:
x^2 + y^2 – 2x – 8y + 13 = 0
 
A circunferência original tinha equação:
x^2 + y^2 - 6x - 4y + 9 = 0
 
Subtraindo as duas equções, obtemos:
4x - 4y + 4 = 0, ou seja: y = x + 1.
 
Logo, a reta que passa pelos dois pontos de interseção não pode ser y = x.
 
Assim, o seu gabarito está errado (não se preocupe, não é a primeira vez que isso acontece aqui na lista e, infelizmente, acho que não será a última).
 
Mesmo sem saber o que é "eixo radical", você pode entender a solução do Artur (que, na minha opinião, é a melhor que poderia ser dada pra este problema).
Basta reparar que se as duas circunferências são secantes, então a corda comum é um eixo de simetria da figura formada pelas duas circunferências.
Só que este eixo de simetria é justamente a reta y = x. Logo, cada circunferência nada mais é do que a imagem da outra por uma reflexão em torno de y = x.
Logo, as equações são obtidas uma da outra por uma permutação das variáveis.
 
 
Um abraço,
Claudio.
 
----- Original Message -----
Sent: Tuesday, May 27, 2003 12:43 AM
Subject: RE: [obm-l] Geometria



Artur Costa Steiner <artur@opendf.com.br> wrote:

-----Original Message-----
From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
[mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Jorge Silva
Sent: Sunday, May 25, 2003 9:34 AM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Geometria

Tenho 2 probleminhas aqui que a galera pode até ri, mas o segundo ficou
trabalhosa a minha resolução e o primeiro eu não sei.
 
1) Considere o triangulo ABC, onde A(0,4), B(2,3) e C é um ponto
qualquer da circunferência x^2 + y^2= 5. Qual abscissa do ponto C que
torna a área do triângulo ABC a menor possível?
 
OBS: Eu pensei em achar a eq. da reta que passa por A e B, tal que o
ponto C vai estar na intersecção da paralela a esta reta AB, no qual
esta paralela é tangente a circunferência ------- Mas isso eu imaginei
(não consigo provar que com esse caso a área é mínima) , estou falando
abo! brinha? Não consegui continuar...
[Artur Costa Steiner]
Eh isso memo. Neste caso, a altura do triangulo relativa a AB eh minima
e a a area eh minima. Mas veja que hah dois pontos com tal
caracteristica, para um a area e minima e para o outro e maxima.
  
 
2) Duas circunferências de mesmo raio são secantes. A reta y=x contém os
pontos em que elas se cortam. Sabendo-se que uma das circunferências tem
por eq. x^2 + y^2 -6x-4y+9=0. Determine a eq. da outra.
 
[Artur Costa Steiner]
A reta y=x eh o eixo radical das duas circunferencias. Como elas tem o
mesmo raio, saop simetricas com relacao ao eixo radical, a reta y=x.
Logo para obter a equacao da outra circunferencia basta trocar a posicao
de x e de y, obtendo x^2 + y^2 -6y-4x+9=0
Um abraco
Artur]

          O segundo exercício a resposta do livro é x^2 + y^2 – 2x – 8y + 13 = 0, portanto não bateu a resposta, de acordo com seu método por simetria das duas circunferências. No primeiro exercício como vou achar a eq da reta paralela a AB, se eu só sei o coeficiente angular dela ( que é o mesmo da reta AB)?[ Deveria?... montar um sistema com uma eq. da reta e com o da circ. pois ela interceptará a circunferencia, mas aí ficaria bem trabalhoso, tente fazer assim pra ver só.]

 

 Como ficaria então, colegas.?

             Um abração Jorge Eduardo.