Re: [obm-l] todo unicornio e' verde

[Carlos César de Araújo <cca@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Caro JF,

A afirmação "Todo unicórnio é verde" é verdadeira precisamente porque o
conjunto dos unicórnios é vazio! Em geral, toda sentença cuja forma lógica
seja do tipo

para todo x (se x está em A então x está em B)

é verdadeira se A é o conjunto vazio. Para ver que assim é, NEGUE a sentença
e obtenha

existe x (x está em A e x não está em B)

Esta última sentença é falsa se A é vazio (pois, nesse caso, não existe x
algum em A).  Esta é a maneira como os QUANTIFICADORES  são hoje encarados
(principalmente após os trabalhos pioneiros de Peirce, Frege e Peano no
século XIX), pelo menos em sistemas lógicos "ortodoxos". Cabe ressaltar que
a obtenção de uma afirmação "puramente" existencial a partir da negação de
uma quantificação universal NÃO é ponto pacífico para os matemáticos
construtivistas (nenhuma relação com o termo "construtivismo" tal como usado
na pedagogia matemática).

Quanto ao "paradoxo do mentiroso", ele NÃO se resume simplesmente à
afirmação "todo cretense é mentiroso". É mais do que isto: é necessário um
elemento de CIRCULARIDADE ou AUTO-REFERÊNCIA para que se tenha um paradoxo
clássico. Uma forma alternativa, mais simples, consiste em considerar a
proposição

P: "Esta sentença é falsa".

Agora, observe: P será verdadeira se e somente se for falsa! O exame de
paradoxos lógicos é tema de artigos  (em preparação) da página
http://www.gregosetroianos.mat.br/logica.asp Várias soluções para paradoxos
"semânticos" como esse têm sido propostas por diferentes lógicos,
notadamente Tarski e, mais recentemente, Barwise (ambos já falecidos).
Barwise é autor de uma complexa teoria lógico-matem''atica geral da
circularidade, fundamentada numa teoria de conjuntos diferente da
"tradicional" ZFE (Zermelo-Fraenkel+Axioma da Escolha).

Abraços,

Carlos César de Araújo
Matemática para Gregos & Troianos
www.gregosetroianos.mat.br
Belo Horizonte, MG

> "Todo unicórnio é verde", dado que não existem unicórnios, não seria um
> paradoxo semelhante ao Paradoxo de Epimenides, cretense que disse "todo
> cretense é mentiroso"?
>
> JF
>
> ----- Original Message -----
> From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Saturday, May 24, 2003 5:39 PM
> Subject: Re: [obm-l] uma questao de Logica
>
> > [...]
> > Mas acho que vale a pena ter um pouquinho de perspectiva histórica.
> > Estemos discutindo qual o conceito mais adequado para "para todo".
> > A frase "todo unicórnio é verde" (dado que não existem unicórnios) é...?
> > O consenso *hoje* entre matemáticos é que esta frase é verdadeira
> > (só seria falsa se existisse um unicórnio de alguma outra cor)
> > mas isso nem sempre foi assim; no século XIX isso ainda era motivo
> > de discussão e Aristóteles achava que esta frase deveria ser considerada
> > falsa (interpretando-a, em linguagem moderna, como dizendo
> > "existe pelo menos um unicórnio e todo unicórnio é verde").
> > [...]
> > []s, N.
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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