Re: [obm-l] Problemas

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

>
>To precisando de um maozinha aqui pois empaquei:
>(1) Resolva em R:
>[(9+x)^1/3]  + [(9-x)^1/3]=3
>
>(2)Seja o sistema abaixo.Resolver em U=R^2
>
>(x^2/3)+(y^2/3)+(x^1/3)-(y^1/3)=6
>xy=8
>
>(3)Resolver o sistema(U=R^3)
>(y^3) -6(x^2)+12x-8=0
>(z^3) -6(y^2)+12x-8=0
>(x^3) -6(z^2)+12z-8=0

 (3)  Vamos provar que a unica solucao real do sistema e' x=y=z=2. Seja
g(u)=(6u^2-12u+8)^1/3=(6(u-1)^2+2)^1/3>=2^(1/3)>1. Temos que y=g(x) e x=g(z), 
donde y e x sao maiores que 1. 
A funcao g(u) e' decrescente para u<=1 e crescente para u>=1. Temos g(u)=u
se e somente se (u-2)^3=u^3-6u^2+12u-8=u^3-g(u)^3=0, donde u=2. Dai tambem
segue que g(u)<u para u>2 e g(u)>u para u<2. Se x=2 temos y=g(2)=2, donde
z^3=6y^2-12x+8=8 e logo z=2. Temos mais dois casos:
   i) x > 2. Nesse caso, y=g(x)<x, mas y=g(x)>g(2)=2. Temos z^3=6y^2-12x+8 <
6y^2-12y+8, donde z<g(y)<y<x. Por outro lado,
z^3=6y^2-12x+8=6(6x^2-12x+8)/y-12x+8>6(6x^2-12x+8)/x-12x+8=
=(24x^2-64x+48)/x=8((x-2)(3x-2)+2)/x > 0. Se 0<z<=2, (z-1)^2<=1 e
x=g(z)=(6(z-1)^2+2)^1/3<=8^(1/3)=2, absurdo. Por outro lado, como z<x, se z>=2, 
temos 2<=z<x, donde x=g(z),g(x)<x, absurdo. Assim esse caso nao e' possivel.
   ii) x < 2. Nesse caso, y=g(x)>x, mas y=g(x)<g(2)=2. Temos
z^3=6y^2-12x+8>6y^2-12y+8, donde z>g(y)>g(x)=y>x. Por outro lado,
x=g(z)>g(x)=y>x, absurdo. Assim esse caso tambem nao e' possivel, e a unica
solucao e' x=y=z=2.
    Abracos,
             Gugu     

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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