[obm-l] XXII OBM (2000) Fase 1, Nível 1, Questão 14

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

A questão mencionada é a seguinte:

14. O emir Abdel Azir ficou famoso por vários motivos. Ele teve mais de 39
filhos, incluindo muitos gêmeos. De fato, o historiador Ahmed Aab afirma num
dos seus escritos que todos os filhos do emir eram gêmeos duplos, exceto 39;
todos eram gêmeos triplos, exceto 39; todos eram gêmeos quádruplos, exceto
39. O numero de filhos do emir é:

A) 111
B) 48
C) 51
D) 78
E) 75

*****

Sejam:
N = no. total de filhos do emir;
a = no. de filhos não-gêmeos
b = no. de pares de gêmeos duplos;
c = no. de triplas de trigêmeos;
d = no. de quadruplas de quadrigêmeos

Assim, do enunciado, teremos:
N > 39
N = a + 2b + 3c + 4d
N = 2b + 39
N = 3c + 39
N = 4d + 39

As duas últimas equações implicam que N - 39 é múltiplo de 3 e de 4. Logo,
N - 39 é múltiplo de 12, o que elimina as alternativas B e D, já que 48 - 39
= 9 e 78 - 39 = 39 não são múltiplos de 12.

Somando as três últimas equações, obtemos:
3N = 2b + 3c + 4d + 117.

Usando que 2b + 3c + 4d = N - a, teremos:
3N = N - a + 117 ==>
2N = 117 - a ==>
N = 117/2 - a/2 <= 58, o que elimina as alternativas A e E, já que 111 e 75
são ambos maiores do que 58.

Assim, sobra apenas a alternativa C ==> N = 51, o que resulta em:
a = 15, b = 6, c = 4, d = 3.

Um abraço,
Claudio.

----- Original Message -----
From: "Olimpiada Brasileira de Matematica" <obm@impa.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, May 23, 2003 2:41 AM
Subject: [obm-l] Re:


> At 11:00 PM 5/20/03 +0000, you wrote:
> >Caro Prof. Nicolau,
> >
> >Solicito esclarecimento para a questão nº14, da XXII OBM, 1ªfase, nível
1,
> >pois não compreendi a solução apresentada.
> >
> >
> >
> >Dr. José Luís Maida Júnior
> >Neurologia - Neurocirurgia
>
> Prezado Jose Luis,
>
> Existe a lista de discussao de problemas de
> Matematica  da OBM especialmente pensada
> para resolver este tipo de duvidas. Para se cadastrar
> leia as instrucoes no nosso site:
>
> http://www.obm.org.br/lista.htm
>
> Atenciosamente,
>
> Nelly Carvajal
> Secretaria da OBM.
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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