[obm-l] XXII OBM (2000) Fase 1, N�vel 1, Quest�o 14

["Cl�udio \(Pr�tica\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

A quest�o mencionada � a seguinte:

14. O emir Abdel Azir ficou famoso por v�rios motivos. Ele teve mais de 39
filhos, incluindo muitos g�meos. De fato, o historiador Ahmed Aab afirma num
dos seus escritos que todos os filhos do emir eram g�meos duplos, exceto 39;
todos eram g�meos triplos, exceto 39; todos eram g�meos qu�druplos, exceto
39. O numero de filhos do emir �:

A) 111
B) 48
C) 51
D) 78
E) 75

*****

Sejam:
N = no. total de filhos do emir;
a = no. de filhos n�o-g�meos
b = no. de pares de g�meos duplos;
c = no. de triplas de trig�meos;
d = no. de quadruplas de quadrig�meos

Assim, do enunciado, teremos:
N > 39
N = a + 2b + 3c + 4d
N = 2b + 39
N = 3c + 39
N = 4d + 39

As duas �ltimas equa��es implicam que N - 39 � m�ltiplo de 3 e de 4. Logo,
N - 39 � m�ltiplo de 12, o que elimina as alternativas B e D, j� que 48 - 39
= 9 e 78 - 39 = 39 n�o s�o m�ltiplos de 12.

Somando as tr�s �ltimas equa��es, obtemos:
3N = 2b + 3c + 4d + 117.

Usando que 2b + 3c + 4d = N - a, teremos:
3N = N - a + 117 ==>
2N = 117 - a ==>
N = 117/2 - a/2 <= 58, o que elimina as alternativas A e E, j� que 111 e 75
s�o ambos maiores do que 58.

Assim, sobra apenas a alternativa C ==> N = 51, o que resulta em:
a = 15, b = 6, c = 4, d = 3.

Um abra�o,
Claudio.

----- Original Message -----
From: "Olimpiada Brasileira de Matematica" <obm@impa.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, May 23, 2003 2:41 AM
Subject: [obm-l] Re:


> At 11:00 PM 5/20/03 +0000, you wrote:
> >Caro Prof. Nicolau,
> >
> >Solicito esclarecimento para a quest�o n�14, da XXII OBM, 1�fase, n�vel
1,
> >pois n�o compreendi a solu��o apresentada.
> >
> >
> >
> >Dr. Jos� Lu�s Maida J�nior
> >Neurologia - Neurocirurgia
>
> Prezado Jose Luis,
>
> Existe a lista de discussao de problemas de
> Matematica  da OBM especialmente pensada
> para resolver este tipo de duvidas. Para se cadastrar
> leia as instrucoes no nosso site:
>
> http://www.obm.org.br/lista.htm
>
> Atenciosamente,
>
> Nelly Carvajal
> Secretaria da OBM.
>
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> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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