[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] potências

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, May 20, 2003 at 06:03:16PM +0000, Paulo Santa Rita wrote:
> >Se m e n são números inteiros positivos ímpares, o
> >resto da divisão do número 1^m + 2^m + ... + (n-1)^m
> >por n é...
> >
> >Resposta: zero.
> 
> Um teorema ensinado a alunos de 2 grau diz que a soma das potencias M-esimas 
> dos N primeiros numeros naturais é um polinomio na variavel N e de grau M+1. 
> Para o seu caso, Seja P este polinomio. Assim : P=f(N). Quando vale f(0) ? 
> Zero ! ... Pois a soma das potencias M-esimas dos "zero primeiros" numeros 
> naturais deve ser zero ... Segue que P=f(N) nao tem termo independente ... 
> Logo ele é divisivel por N.

Acho que você queria dizer P(n) = 0^m + 1^m + ... + (n-1)^m.
Este polinômio é múltiplo de n como polinômio,
ou seja, podemos escrever P(n) = n*Q(n) onde Q é outro polinômio.
O que não me parece óbvio é que Q assuma valores inteiros nos inteiros.

Por exemplo, seja p(n) = (n^3 - n)/3.
Observe que p(n) é inteiro para todo inteiro n.
Podemos escrever p(n) = n * q(n) onde q(n) = (n^2 - 1)/3.
Mas agora q(0) = -1/3...

Acho que vale a pena tornar este ponto mais claro.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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