Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] potências

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

   Notem que como {-1,-2,...,-(n-1)}={1,2,...,n-1} modulo n, temos 
S:=1^m + 2^m + ... + (n-1)^m=(-1)^m+(-2)^m+...+(-(n-1))^m=
=-(1^m + 2^m + ... + (n-1)^m) (modulo n) (pois m e' impar, logo (-1)^m=-1).
Assim, temos S=-S (mod n), logo 2S=0 (mod n), e portanto, como n e' impar, 
S=0 (mod n), ou seja, S e' multiplo de n. 
   Abracos,
           Gugu

>
>On Tue, May 20, 2003 at 06:03:16PM +0000, Paulo Santa Rita wrote:
>> >Se m e n são números inteiros positivos ímpares, o
>> >resto da divisão do número 1^m + 2^m + ... + (n-1)^m
>> >por n é...
>> >
>> >Resposta: zero.
>> 
>> Um teorema ensinado a alunos de 2 grau diz que a soma das potencias M-esimas 
>> dos N primeiros numeros naturais é um polinomio na variavel N e de grau M+1. 
>> Para o seu caso, Seja P este polinomio. Assim : P=f(N). Quando vale f(0) ? 
>> Zero ! ... Pois a soma das potencias M-esimas dos "zero primeiros" numeros 
>> naturais deve ser zero ... Segue que P=f(N) nao tem termo independente ... 
>> Logo ele é divisivel por N.
>
>Acho que você queria dizer P(n) = 0^m + 1^m + ... + (n-1)^m.
>Este polinômio é múltiplo de n como polinômio,
>ou seja, podemos escrever P(n) = n*Q(n) onde Q é outro polinômio.
>O que não me parece óbvio é que Q assuma valores inteiros nos inteiros.
>
>Por exemplo, seja p(n) = (n^3 - n)/3.
>Observe que p(n) é inteiro para todo inteiro n.
>Podemos escrever p(n) = n * q(n) onde q(n) = (n^2 - 1)/3.
>Mas agora q(0) = -1/3...
>
>Acho que vale a pena tornar este ponto mais claro.
>
>[]s, N.
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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