Re: [obm-l] 2 Problemas

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Caro Marcelo Rufino,

o seu outro e-mail também chegou na lista e agradeço pela sua resposta. O
problema para o caso em que n=3 é um pouco mecânico, mas me parece um
problema interessante. Meu interesse era em saber aquela constante do caso
n=3 para testar com a que eu tinha descoberto através de uma estimativa: eu
tinha encontrado <= 8. O método que usei foi o seguinte - vou tratar do caso
geral.

Escolhem-se n+1 pontos quaisquer no intervalo [-1, 1], eu escolhi 0, 1/n,
2/n, ..., 1. Então calculam-se n+1 polinômios P_0, P_1, ..., P_n tal que P_i
vale 1 em i/n e vale zero em todos os outros n pontos - esse é o método de
interpolação de Lagrange, que é bem conhecido por todos. Um polinômio de
grau n é unicamente determinado se se conhecem seus valores nos n+1 valores
escolhidos:

p(x) = p(0)*P_0 + p(1/n)*P_1 + ... + p(1)*P_n.

Expandindo os polinômios P_i em seus coeficientes em x^j e chamando C =
(p(0), p(1/n), ..., p(1)), dá para se mostrar que existem n+1 vetores V_0,
V_1, ..., V_n - que dependem unicamente dos coeficientes de P_i - e que

p(x) = <V_n, C>* x^n + ... + <V_1, C>* x + <V_0, C> = a_n*x^n + ... + a_1*x
+ a_0

Essa expressão é interessante. Eu tentei estimar o valor das somas dos
coeficientes usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz e algumas estimativas
grosseiras de |V_i|, mas os resultados não foram bons. No caso n=3, eu
calculei diretamente os vetores V_i e obtive a constante 8.

Abraço,
Eduardo.

From: "Marcelo Rufino de Oliveira" <marcelo_rufino@hotmail.com>
> Estou mandando novamente um e-mail que as máquinas provavelmente
engoliram.
>
> A resposta para o problema 2 no caso de n = 3 você pode encontrar em
> http://www.kalva.demon.co.uk/short/soln/sh965.html
> Por um acaso caiu no banco da IMO de 96.
> O enunciado da questão é o seguinte:
> " The real polynomial p(x) = ax3 + bx2 + cx + d is such that |p(x)| <= 1
for
> all x such that |x| <= 1. Show that |a| + |b| + |c| + |d| <= 7. "
>
> Para o caso de n = 2, ou seja, p(x) = ax^2 + bx + c, eu consegui
demonstrar
> que |a| + |b| + |c| <= 17.
> Para isto basta fazer x = 0, x = 1/2, x = 1 e depois manipular as
> desigualdades que surgem. É quase a mesma idéa do caso n = 3.
>
> Até mais,
> Marcelo Rufino de Oliveira

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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