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Oi, JP:
Sou eu mesmo. Só que agora estou usando o meu
e-mail do trabalho.
E acho que o que todos estes teoremas têm em comum
são o fato de envolverem os dois conceitos fundamentais da geometria:
concorrência e colinearidade.
Um abraço,
Claudio.
----- Original Message -----
Sent: Tuesday, May 13, 2003 1:14 PM
Subject: Re: [obm-l] Teoremas de
Menelaos,Ceva,Cristea e Van Aubel(O RETORNO):o que ha em comum?
Na verdade eu queria falar com o outro Claudio,que resolveu Cristea
com vetores.Mas beleza,ainda deixo na gaveta.Mas permanece a duvida:o que tudo
isso tem em comum? Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
wrote:
on
12.05.03 13:51, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at peterdirichlet2002@yahoo.com.br
wrote:
Turma,essa seria uma pergunta para o Morgado responder mas eu
vou deixar a lista se divertir com este :)
TEOREMA DE VAN AUBEL:As
cevianas AT_a,BT_b e CT_c sao concorrentes no ponto T se e somente se
AT/TT_a=AT_b/T_bC+AT_c/T_cB.
Menelaos,Ceva e Cristea,ou Transversal,nao
deixp pois ja falei demais disso.
Ah ta,pro Claudio:a dita demonstraçao
elegante e facil de obter.Primeiro mostre que a soma dos angulos de um
triangulo do plano euclidiano e 180 graus.Ai e so
alegria!
Ass.:Johann
PS.:Teoremas desse tipo sao meio
inuteis mesmo...E especifico demais.
*****
Oi, JP:
Em
qualquer ceviana AP com P em BC, podemos achar um ponto M entre A e P tal
que:
AM/MP = AT_b/T_bC+AT_c/T_cB.
Assim, este teorema vale
apenas numa direcao:
SE as cevianas sao concorrentes ENTAO
AT/TT_a=AT_b/T_bC+AT_c/T_cB.
Isso pode ser provado com vetores, mas
acho que uma demonstracao usando areas de triangulos eh mais elegante:
Suponhamos que AT_a, BT_b e CT_c concorram em T.
Entao,
tomando triangulos com a mesma altura (e, portanto, areas proporcionaias
aos comprimentos das bases respectivas), teremos:
AT_c/T_cB =
[ATT_c]/[BTT_c] = [ACT_c]/[BCT_c] ==>
AT_c/T_cB = ( [ACT_c] -
[ATT_c] ) / ( [BCT_c] - [BTT_c] ) ==>
AT_c/T_cB =
[ATC]/[BTC]
Analogamente, teremos:
AT_b/T_bC =
[ATB]/[BTC]
Somando:
AT_c/T_cB + AT_b/T_cB = ( [ATC] + [ATB]
)/[BTC]
Por outro lado, temos que:
AT/TT_a = [ABT]/[BTT_a] =
[ACT]/[CTT_a] ==>
AT/TT_a = ( [ABT] + [ACT] ) / ( [BTT_a] +
[CTT_a] ) ==>
AT/TT_a = ( [ATC] + [ATB] ) / [BTC] = AT_c/T_cB +
AT_b/T_cB
*****
De qualquer forma, gostaria de ver a sua
demonstracao alegre baseada na soma dos angulos de um triangulo no plano
euclidiano.
Um
abraco,
Claudio.
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