Re: [obm-l] Qual o numero minimo???

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

----- Original Message -----
From: "leonardo mattos" <leonar_matt@hotmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Tuesday, May 13, 2003 10:48 AM
Subject: [obm-l] Qual o numero minimo???


> Uma prova possui 30 questões. É dado que são
>
> atribuídos quatro pontos para uma resposta correta, -1 para
>
> uma resposta incorreta e 0 para uma questão em branco.
>
> Qual o número mínimo de participantes necessário para que
>
> se possa afirmar com certeza que dois participantes
>
> alcançaram a mesma pontuação na prova?
>
>
>
> a) 121 b) 145 c) 146 d) 151 e) 152
>

Oi, Leonardo:

A resposta é igual a 1 + número de pontuações possíveis.

Se um candidato acerta "m", erra "n" e deixa as restantes "30-m-n" em
branco, sua pontação será:
4m - n
onde: 0 <= m <= 30, 0 <= n <= 30 e 0 <= m+n <= 30.

A menor pontuação é -30 e ocorre quando n = 30. A maior é 120 e ocorre
quando m = 30.

Cada pontuação negativa -k >= -30 pode ocorrer.
Isso occorrerá, por exemplo, se o candidato errar k questões e deixar as
demais em branco.

0 obviamente pode ocorrer (basta deixar a prova em branco).

Agora, vejamos quais as pontuações positivas que podem ocorrer:

1) Cada pontuação da forma 4k (0 <= k <= 30) pode ocorrer:
Acerta k e deixa as demais em branco;

2) Cada pontuação da forma 4k+1 (0 <= k <= 26) pode ocorrer:
Acerta k+1, erra 3 e deixa as demais em branco (caso haja);

3) Cada pontuação da forma 4k+2 (0 <= k <= 27) pode occorrer:
Acerta k+1, erra 2 e deixa as demais em branco (caso haja);

4) Cada pontuação da forma 4k+3 (0 <= k <= 28) pode ocorrer:
Acerta k+1, erra 1 e deixa as demais em branco (caso haja).

Assim, sobram apenas as seguintes 6 pontuações, nenhuma das quais pode
ocorrer:
4k+1: 109, 113, 117
4k+2: 114, 118
4k+3: 119

Ou seja, o número de pontuações possíveis é:
[120 - (-30) + 1] - 6 = 145

Logo, o número mínimo de participantes tem de ser 146 ==>
alternativa (c).

Um abraço,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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