Re: [obm-l] tatraedro.

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 04.05.03 01:58, pichurin at pichurinbr@yahoo.com.br wrote:

> prove vetorialmente que se um tetraedro tem dois pares
> de arestas opostas ortogonais, as duas arestas são
> também ortogonais.
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Seja o tetraedro ABCD. Escolha um dos vertices (digamos, A) para ser a
origem e tome 3 vetores U, V e W coincidentes com cada uma das 3 arestas
concorrentes neste vertice (ou seja,  AB = U, AC = V e AD = W).

As outras 3 arestas serao BC, CD e BD, iguasi respectivamente a:
BC = AC - AB = V - U
CD = AD - AC = W - V
BD = AD - AB = W - U

Suponhamos s.p.d.g. que AB e CD sejam ortogonais e que AC e BD tambem sejam
ortogonais. 

Temos que provar que AD e BC sao ortogonais.

U ortogonal a W - V ==> U.(W - V) = 0 (produto escalar)
V ortogonal a W - U ==> V.(W - U) = 0

Vamos calcular W.(V - U):
W.(V - U) = W.V - W.U = V.W - U.W = V.W - V.U + U.V - U.W = V.(W - U) - U.(W
- V) = 0 - 0 = 0 ==>
W eh ortogonal a V - U ==>
AD e BC sao ortogonais

Um abraco,
Claudio. 

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