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[obm-l] Re: [obm-l] Por geo. analitica e plana
Vamos falar primeiro sobre homotetia. Uma homotetia de centro O e constante
k é uma transformação no plano que leva cada ponto A diferente de O em outro
ponto A' tal que são satisfeitas as duas condições abaixo:
i) A, O e A' são colineares;
ii) A'G/AG = k
Diremos que H(A)=A'
Vale ressaltar que k pode ser qualquer valor real. De fato, em ii) estamos
levando em conta as direções de A'G e AG, ou seja, quando k é menor do que
zero, A'G e AG tem sentidos contrários ( logo O fica entre A e A' ) e quando
k>0, A' está na semi-reta GA.
Afirmação: uma homotetia leva um segmento AB em outro A'B' paralelo a
AB.
De fato, temos A'O/AO=k=B'O/BO, que é o teorema de Tales, donde AB//A'B'.
Da afirmação acima, decorre que homotetia preserva colinearidade, jã que
se A, B, C são colineares então A'B'//AB e A'C'//AC implica que A', B' e
C' são colineares.
Agora já podemos resolver o problema!
Solução por geometria plana: seja H a homotetia de centro G e razão -2.
Vamos mostrar que H(O)= ortocentro ( já que estamos chamando a homotetia
de H, vamos chamar o ortocentro de D, para evitar confusões ). Veja que
se mostrarmos isso, teremos que O, G e D são colineares e alémm disso, que
DG/GO=2.
Mas veja que se M é o médio de BC, então H(M)= A. Assim, a mediatriz l
de BC, que passa por M, é levada numa reta paralela a l ( logo perpendicular
a BC ) que passa por A. Mas essa reta é exatamente a altura relativa a BC.
Assim, cada mediatriz é levada em uma das alturas de ABC. Daí, O é levado
na interseção das alturas, i.e., H(O)=D.
Vou apenas mencionar a prova analítica: vamos considerar AB o vetor de
origem A e extremidade B. Considere O a origem. Então é possível provar
que ( agora estamos considerando H como o ortocentro mesmo! ) OH = OA+OB+OC,
OG=(OA+OB+OC)/3 (tente provar isso!). Daí, OH=3OG, donde o resultado segue.
Ateh mais,
Yuri
(-- Mensagem original --
> Demonstrar analiticamente que o baricentro, o
>circuncentro e o ortocentro de qualquer triângulo são
>colineares. A reta de colineridade é denominada Reta de
>Euler.
>
> Peço aos colegas também a demonst. geométrica plana.
>
> Um abraço e obrigado.
>
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[]'s, Yuri
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