Re: [obm-l] automorfismo

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

é isso mesmo, ou f = 1 ou a característica de E é 2 (caso em que a + a = b +
b = 0 pode ocorrer mesmo com a != b).

dá pra resolver esse problema usando o teorema de Dedekind:
tma: se F1 e F2 são corpos, e f1, f2, ..., fn um conjunto de homomorfismos
(distintos), f1, ..., fn são linearmente independentes em F2, ou seja, se
a1, ..., an são tais que a1f1 + a2f2 + ... an.fn = 0, a1 = a2 = ... = an = 0

para o problema, basta ver que se f² != 1, { 1, f, f², f³ } são
homomorfismos (automorfismos, de fato) distintos, logo são linearmente
independentes, mas
f(a) + f³(a) - a - f²(a) = 0 é uma combinação linear desses homomorfismos
sendo que nem todos os coeficientes são nulos, uma contradição.

f² = 1.

[ ]'s

> Seja f um automorfismo em um corpo E, se f^4 = 1, e
> f(a) + f³(a) = a + f²(a) para todo a pertencendo a E,
> mostre que f²= 1.
>
>
> Vejam o que eu fiz....
>
> Se f != 1 existe um a tq. f(a) = b != a
> b + f²(b) = a + f(b)
> se f²(b) = b, f(f(b)) = b, logo f(b) = a pois f é um automorfismo
> logo
> b + b = a + a
> dá pra ver que isso tá errado...
> prop. distributiva
> a(b + b) = ab + ab
> b(a + a) = ba + ba
> prop. comutativa
> ab + ab = ba + ba
> logo
> a(b + b) = b(a + a), como a + a = b + b != 0
> a = b (lei do cancelamento)
> absurdo...
>
> temos então que se f != 1, f² != 1
>
> É isso mesmo? Temos que provar que na verdade f é a identidade???
>
> [ ]'s
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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