Re: [Re: [obm-l] REGRA DA CADEIA]

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxx>]

"Domingos Jr." <dopikas@uol.com.br> wrote:
> 
> > qual é a demonstração da regra da cadeia?
> > Essa regra pode serr aplicada para expoentes(x^f(x))?Como?
> 
> Depende, a regra da cadeia de funções com 1 variável sai direto da
definição
> de derivada através de limites, já foram colocadas algumas
demonstrações
> diversas aqui nessa lista mesmo.
> Funções de R^n -> R^m já são mais complicadas e envolvem a matriz
> Jacobiana... (eu nem conheço as demonstrações, se alguém puder indicar
um
> material interessante...)

Nos livros do Bartle (The Elements of Real Analysis) e do Apostol (Real
Analysis) há as demonstracoes da regra da cadeia para funcoes de R^m em R^n. 
Lembro que para funcoes de dominio em R^n, n>1, o conceito de derivada eh
diferente daquele do caso n=1. Se n>1, ao valor da derivada de f em um ponto x
de seu dominio nao eh um numero ou um vetor mas si uma funcao linear que
aproxima f em uma vizinhanca de x. Dizemos que f de dominio em R^n e valores
em R^m eh diferenciavel em x se existir uma funcao linear L tal que, dado
qualquer eps>0, existir um d>0, tal que, se x estiver no dominio de f e
0<||x-a||<d, entao ||f(x) - f(a) - L(x-a)||< eps. Neste caso, dizemos entao
que a funcao linear L eh a derivada de f em x. (|| signfica a norma de vetores
em R^n e R^m). fazendo-se uma analogia com o caso na reta real, poderiamos
dizer que a derivada de f em x eh a funcao linear que a cada real u associa o
numero f'(x) u, sendo f'(x) conforme a definicao classica.
No caso de R^n, n>1, uma condicao suficiente (porem nao necessaria) para que f
seja diferenciavel em x e que uma de suas derivadas parciais exista em x e
todas as outras derivadas parciais existam em uma vizinhanca de x e sejam
continuas em x. Logo, a continuidade das derivadas parciais de f e m x eh uma
condicao mais forte do que a diferenciabilidade em x.

Artur

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