Re: [obm-l] Bijecao

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 09.04.03 14:23, Nicolau C. Saldanha at nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br
wrote:

> On Tue, Apr 08, 2003 at 10:47:19PM -0300, Claudio Buffara wrote:
>> Caros colegas da lista:
>> 
>> Dado um conjunto infinito A, seja B o conjunto de todas as sequencias
>> finitas cujos termos pertencem a A.
>> 
>> Pergunta: existe uma bijecao entre A e B?
> 
> Sim. Mas a demonstração geral não é muito fácil. Tente provar
> que sempre existe uma bijeção entre AxA e A para A infinito,
> já não é fácil. Eu tenho quase certeza que você precisa
> do axioma da escolha.
> 
> O livro 'Set Theory' de Jech tem tudo o que você quer.
> 
>> Eu sei que a resposta eh sim quando A eh enumeravel e suspeito que seja sim
>> em geral, mas nao estou conseguindo amarrar o argumento.
>> 
>> Esta duvida apareceu ao tentar resolver o seguinte problema:
>> 
>> Seja R um anel tal que cada funcao de R em R pode ser expressa como um
>> polinomio com coeficientes em R.
>> Prove que R eh um corpo finito.
>> 
>> Agradeco qualquer ajuda.
> 
> O que você parece querer fazer é provar que se R é infinito
> então o cardinal do conjunto de todas as funções de R em R
> é maior que o cardinal do conjunto dos polinômios com coeficientes
> em R. Isto é verdade e acho que pode ser demonstrado por uma variação do
> argumento diagonal de Cantor, deve ser mais fácil do que a outra
> pergunta que você fez.
> 
Oi, Nicolau.

Eh exatamente o que eu tenho em mente. Vou tentar provar isso e procurar o
livro que voce indicou.

Quanto ao restante do problema sobre o anel, supondo que R eh um anel finito
com 1 eu fiz o seguinte:

Tome um elemento arbitrario "c" de R (c <> 0).

Considere a funcao (polinomial, por hipotese) de R em R tal que:
f(0) = 0  e  f(c) = 1.

Como f nao eh constante, existe um inteiro positivo n e n+1 elementos (nao
necessariamente distintos) de R: b_0, b_1, ..., b_n tais que:
f(x) = b_0 + b_1*x + ... + b_n*x^n

f(0) = 0 ==>
b_0 + b_1*0 + ... + b_n*0^n = 0 ==>
b_0 = 0

f(c) = b_1*c + ... + b_n*c^n = 1 ==>
(b_1 + b_2*c + ... + b_n*c^(n-1))*c = 1 ==>
d = b_1 + b_2*c + ... + b_n*c^(n-1) eh um inverso a esquerda de c

Conclusao: em R todo elemento <> 0 tem um inverso a esquerda.

Agora, tome a em R. Pelo que acabamos de ver, existe b em R tal que b*a = 1.

Alem disso, existe c em R tal que c*b = 1.

Entao:
a*b = (1*a)*b = ((c*b)*a)*b = (c*(b*a))*b = (c*1)*b = c*b = 1.

Logo, os inversos a direita e a esquerda de a sao iguais ==>
a eh invertivel ==>
R eh um anel de divisao finito ==>
R eh um corpo finito.

Minhas perguntas:
1) Como provar, usando apenas que R eh um anel finito onde todas as funcoes
de R em r sao polinomiais, que R tem uma identidade?
2) Como provar que estas mesmas condicoes implicam que R eh comutativo, sem
usar o teorema de Wedderburn (anel de divisao finito ==> corpo)?

Obrigado pelas dicas e um abraco,
Claudio.

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