Re: [obm-l] Bijecao

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

> On Wed, Apr 09, 2003 at 01:26:45PM -0300, Domingos Jr. wrote:
> > > Seja R um anel tal que cada funcao de R em R pode ser expressa como um
> > > polinomio com coeficientes em R.
> > > Prove que R eh um corpo finito.
> >
> > Acho que uma possível idéia para esse problema é:
> >
> > Seja R o anel e suponha R infinito, suponha que toda função de R em R
pode
> > ser expressa como um polinômio com coef. em R.
> >
> > Seja f : R -> R, f(x) = {a, se x = 0 e 0 se x != 0}, onde a é um
elemento
> > não nulo do anel.
> > Essa função deve ser expressa por um polinômio, mas se p é um polinômio
> > dessa forma, p(x) != 0 pois p(0) = a != 0 e, no entando, existem
infinitas
> > raízes para p, um absurdo.
>
> A demonstração infelizemnte não está correta.
> Seja A o anel de todas as funções de N em Z
> com soma e produto coordenada a coordenada.
> O polinômio x^2 - x admite infinitas raízes em A:
> todas as funções x com x(n) = 0 ou 1 para todo n.
>
> O teorema que você quer (um polinômio de grau n
> tem no máximo n raízes) só vale em um domínio,
> um anel comutativo com unidade onde
>          ab = 0    ->   a = 0  ou  b = 0

Eu senti que estava fácil demais!

Se tivermos um domínio de integridade é só imaginar a fatoração do polinômio
no fecho algébrico do corpo de frações desse domínio para determinar que há
n raízes nesse fecho algébrico e por tanto no máximo n raízes no domínio,
certo?

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