[obm-l] Mais Problemas em Aberto - Topologia

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

> Caros colegas da lista:
 
> Aqui vai mais uma compilação de problemas que foram propostos mas
cujas > soluções nunca foram publicadas na lista.

[Artur Costa Steiner] 
Sobre, Topologia, para os que curtem, aqui vão algumas soluções:
 
5) Alguns de topologia geral:
 
Definamos x como ponto de condensação de um subconjunto E de R^n se
qualquer vizinhança V de x contiver um número incontável de elementos de
E (isto é, se V inter E não for numerável). Seja P o conjunto dos pontos
de condensação de E. Mostre que

5.1) E é numerável se, e somente se, P for vazio ( o que acarreta
automaticamente que E não é numerável sse P não for vazio)

Sabemos que R^n possui uma base numerável, como, por exemplo, a coleção
das  bolas abertas de raios racionais e centros em elementos de
coordenadas racionais. Seja  B = {B_n} esta coleção. Para maior clareza,
provaremos primeiro o item 5.2
 
5.2) O conjunto dos elementos de E que não são pontos de condensação do
mesmo (E inter complementar de P) é numerável.
Definamos W como a união de todos os conjuntos básicos B_n cujas
intercessões com E sejam numeráveis. Seja cP o complementar de P. Vamos
mostrar que W = cP. Se x pertence a W, então x possui uma vizinhança
básica B_n cuja intercessão com E é numerável. Da definição de ponto de
condensação, segue-se que x não é um de tais pontos e que portanto, x
pertence a cP. Se, por outro lado, x pertence a cP, então x possui uma
vizinhança, logo uma vizinhança básica, cuja intercessão com E é
numerável. Da definição de W, segue-se que x pertence a W. Concluimos
assim que W está contido em cP e vice-versa. Logo W = cP. 
Desta conclusão, segue-se agora que E inter cP = E inter W = (E inter
B_1) U (E inter B_2) U....(E inter B_n)..... Como cada (E inter B_n) é
numerável, vemos que E inter cP é dado por uma união numerável de
conjuntos numeráveis. Logo E inter cP é numerável, o que prova 5.2. 
Voltando-se a 5.1, observamos que E = (E inter P) U (E inter cP). Se P
for vazio (isto é, se E não possuir pontos de condensação) então E = E
inter cP, equação que, em virtude do que acabamos de ver, mostra-nos que
E é numerável. Se, por outro lado, P não for vazio, então E possui um
ponto de condensação x e qualquer vizinhança V de x é tal que V inter E
não é numerável. Dado que V inter E é um subconjunto de E, segue-se que
E não é numerável. Isto prova 5.1. Tomando-se as contrapositivas de tais
conclusões, constatamos imediatamente que E não é numerável sse P não
for vazio.

5.3) P é perfeito (é fechado e todos seus elementos são pontos de
acumulação do mesmo). Na realidade, todo elemento de P é ponto de
condensação do mesmo.
Vimos que cP = W é dado por uma união de conjuntos abertos. Logo, cP é
aberto e P é fechado. Alternativamente, podemos chegar a esta mesma
conclusão observando que, se x pertence a cP, então x possui uma
vizinhança V cuja intercessão com E é numerável. Como V é vizinhança de
todos os seus elementos, segue-se que igual condição vale para todo
elemento de V, o que nos mostra que V está contida em cP. Todo elemento
de cP é portanto ponto interior do mesmo, do que deduzimos que cP é
aberto e P é fechado.
Sejam agora p pertencente a P e V uma vizinhaça qualquer de p. Temos a
seguinte equação: V inter E = (V inter E inter P) U (V inter E inter
cP). Pela definição de ponto de condensação, V inter E não é numerável
e, conforme já vimos, E inter cP é numerável. Logo, V inter E inter cP é
numerável, pois é subconjunto de E inter cP. Para que a equação citada
possa vigorar, temos então, necessariamente, que V inter E inter P não
pode ser numerável. Como V é arbitrária, concluimos que p é ponto de
condensação de E inter P e, consequentemente, do próprio P. E como todo
ponto de condensação de um conjunto é, automaticamente, ponto de
acumulação do mesmo, concluimos que todo elemento de P é ponto de
acumulação do mesmo. Logo P é perfeito. OBS. Nesta demonstração
admitimos que P não é vazio. Se P for vazio, então P é trivialmente
perfeito. 
  
5.4)Todo elemento de P é ponto de condensação de E inter P
Conseqüência imediata da demonstração de 5.3. Como corolário, segue-se
que, se P não for vazio, então E inter P não é numerável. Como outro
corolário, temos que todo elemento de E inter P é ponto de condensação
do mesmo.

5.5) O fecho de E inter P é o próprio P
Se x pertence a fecho de E inter P, então então toda vizinhança V de x
intercepta E inter P e, portanto, intercepta P. Logo, V contém um ponto
de condensação de E, o que acarreta que V inter E não seja numerável.
Segue-se que x é ponto de condensação de E e, face a isto, x pertence a
P. Se, por outro lado, x pertence a P, então, conforme vimos, x é ponto
de condensação de E inter P. É então imediato que x pertence ao fecho de
E inter P. Isto prova 5.5
 
5.6) Todo conjunto fechado é dado pela união disjunta de um conjunto
perfeito com um conjunto numerável (podendo ser que um destes conjuntos
seja vazio). Este é o Teorema de Cantor-Bendixon.
Suponhamos que E seja fechado. Temos que E = (E inter P) U (E inter cP).
Conforme vimos, P é fechado, o que acarreta que E inter P também seja
fechado. Nos corolários de 5.4 vimos que todo elemento de E inter P é
ponto de condensação, e portanto de acumulação, do mesmo. Logo, E inter
P é perfeito. Além disto, vimos também que E inter cP é numerável. E
como E inter P e E inter cP são disjuntos, o teorema fica demonstrado

Um abraço para todos
Artur

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