FW: [obm-l] triângulo

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Rafael:
>
> Num triângulo ABC, um dos ângulos que a mediana
> AM = m(a) forma com o lado BC é igual ao ângulo que
> esta mesma mediana forma com a bissetriz do ângulo
> A. Demonstrar:
> i. a²= 4bc   ii. m(a) = raiz(2).(c - b)/2
>
> Escrevi algumas semelhanças, lei do seno, lei da
> bissetriz interna, mas ainda não consegui nenhum
> resultado. Se alguém puder me dar uma dica...
>
ABC nao pode ser isosceles, pois nesse caso teriamos AM perpendicular a BC e
coincidente com a bissetriz de A. Assim, suponhamos que AB < AC ==> c < b.
Seja P = ponto de interseção da bissetriz interna de BAC com o lado BC.

AM eh mediana ==>
BM = MC = a/2

AP eh bissetriz interna ==>
CP/BP = AC/AB ==>
CP/BP = b/c
Como BP + PC = BC = a, teremos:
CP = a*b/(b+c);  BP = a*c/(b+c)

PAM = PMA ==>
Triângulo APM é isósceles ==>
AP = PM

Levando em conta que BP + PM = BM = a/2, teremos:
a*c/(b+c) + PM = a/2 ==>
PM = a*(b-c)/[2*(b+c)] = AP


Agora vamos aplicar o teorema de Stewart:

Primeiro em relacao a bissetriz AP:
BC*(AP^2 + BP*PC) = AC^2*BP + AB^2*PC ==>

a*(a^2*(b-c)^2/[4*(b+c)^2] + a^2*b*c/(b+c)^2) =
= b^2*a*c/(b+c) + c^2*a*b/(b+c) ==>

(simplificando tudo)
a^2 = 4*b*c

Em seguida, em relacao a mediana AM:
BC*(AM^2 + BM*MC) = AC^2*BM + AB^2*MC ==>

a*(m^2 + (a/2)*(a/2)) = b^2*a/2 + c^2*a/2  ==>

m^2 + a^2/4 = (b^2 + c^2)/2 ==>

m^2 = (2*b^2 + 2*c^2 - a^2)/4 ==>

(levando em conta que a^2 = 4*b*c)
m^2 = (2*b^2 + 2*c^2 - 4*b*c)/4 ==>

m^2 = (b - c)^2/2 ==>

m = (b - c)/raiz(2)


Um abraco,
Claudio.








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